Produit scalaire

Produit scalaire : définition avec le cosinus (définition géométrique) - Exercice 1

5 min
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Question 1

On donne u=10\left\| \overrightarrow{u} \right\|=10 et v=6\left\| \overrightarrow{v} \right\|=6 et (u,v)=π3 \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=\frac{\pi}{3} . Calculer uv\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}

Correction
  • Le produit scalaire de deux vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} non nuls est défini par :
    uv=u×v×cos(u,v)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
uv=u×v×cos(u,v)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
uv=10×6×cos(π3)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =10\times6 \times \cos \left(\frac{\pi}{3} \right) .     \;\; Or cos(π3)=12\cos \left(\frac{\pi}{3} \right)=\frac{1}{2}, ce qui nous donne :
uv=10×6×12\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =10\times6 \times \frac{1}{2}
Ainsi :
uv=30\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =30
Question 2

On donne u=5\left\| \overrightarrow{u} \right\|=5 et v=4\left\| \overrightarrow{v} \right\|=4 et (u,v)=120 \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=120^{\circ } . Calculer uv\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}

Correction
  • Le produit scalaire de deux vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} non nuls est défini par :
    uv=u×v×cos(u,v)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
uv=u×v×cos(u,v)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
uv=5×4×cos(120)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =5\times 4\times \cos \left(120^{\circ }\right)     \;\; Or cos(120)=12\cos \left(120^{\circ } \right)=-\frac{1 }{2}, ce qui nous donne :
uv=5×4×(12)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =5\times 4\times \left(-\frac{1}{2}\right)
Ainsi :
uv=10\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =-10
Question 3

On donne u=5\left\| \overrightarrow{u} \right\|=5 et v=4\left\| \overrightarrow{v} \right\|=4 et (u,v)=3π4 \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=\frac{3\pi}{4} . Calculer uv\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}

Correction
  • Le produit scalaire de deux vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} non nuls est défini par :
    uv=u×v×cos(u,v)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
uv=u×v×cos(u,v)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
uv=5×4×cos(3π4)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =5\times 4\times \cos \left(\frac{3\pi}{4} \right)     \;\; Or cos(3π4)=22\cos \left(\frac{3\pi}{4} \right)=\frac{-\sqrt{2} }{2}, ce qui nous donne :
uv=5×4×(22)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =5\times 4\times \left(\frac{-\sqrt{2} }{2}\right)
Ainsi :
uv=10×2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =-10\times \sqrt{2}

Question 4

On donne u=2\left\| \overrightarrow{u} \right\|=2 et v=7\left\| \overrightarrow{v} \right\|=7 et (u,v)=π6 \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=\frac{\pi}{6} . Calculer uv\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}

Correction
  • Le produit scalaire de deux vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} non nuls est défini par :
    uv=u×v×cos(u,v)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
uv=u×v×cos(u,v)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
uv=2×7×cos(π6)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =2\times 7\times \cos \left(\frac{\pi}{6} \right)     \;\; Or cos(π6)=32\cos \left(\frac{\pi}{6} \right)=\frac{\sqrt{3} }{2}, ce qui nous donne :
uv=2×7×32\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =2\times 7\times \frac{\sqrt{3} }{2}
Ainsi :
uv=7×3\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =7\times \sqrt{3}