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Produit scalaire
Produit scalaire : définition analytique . Mise en situation - Exercice 2
3 min
10
Question 1
Soit
z
z
z
un réel. On considère les vecteurs
u
→
(
4
z
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {z} \end{array}\right)
u
(
4
z
)
et
v
→
(
−
3
8
)
\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {8} \end{array}\right)
v
(
−
3
8
)
.
Déterminer la valeur du réel
z
z
z
pour que les vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
soient orthogonaux .
Correction
Si
u
→
⋅
v
→
=
0
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =0
u
⋅
v
=
0
alors les vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
sont orthogonaux.
Dans un repère orthonormé
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right)
(
0
;
i
;
j
)
, le produit scalaire de deux vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
de coordonnées respectives
(
x
;
y
)
\left(x;y\right)
(
x
;
y
)
et
(
x
′
;
y
′
)
\left(x';y'\right)
(
x
′
;
y
′
)
est égal à :
u
→
⋅
v
→
=
x
x
′
+
y
y
′
\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'
u
⋅
v
=
x
x
′
+
y
y
′
u
→
⋅
v
→
=
0
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =0
u
⋅
v
=
0
équivaut successivement à :
4
×
(
−
3
)
+
z
×
8
=
0
4\times \left(-3\right)+z\times 8=0
4
×
(
−
3
)
+
z
×
8
=
0
−
12
+
8
z
=
0
-12+8z=0
−
12
+
8
z
=
0
8
z
=
12
8z=12
8
z
=
12
z
=
12
8
z=\frac{12}{8}
z
=
8
12
z
=
3
×
4
2
×
4
z=\frac{3\times 4}{2\times 4}
z
=
2
×
4
3
×
4
Ainsi :
z
=
3
2
z={\color{blue}{\frac{3}{2}}}
z
=
2
3
Les vecteurs
u
→
(
4
3
2
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {{\color{blue}{\frac{3}{2}}}} \end{array}\right)
u
(
4
2
3
)
et
v
→
(
−
3
8
)
\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {8} \end{array}\right)
v
(
−
3
8
)
sont donc orthogonaux.