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Produit scalaire
Produit scalaire : définition analytique - Exercice 1
6 min
15
Question 1
On considère les vecteurs
A
B
→
(
5
6
)
\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {5} \\ {6} \end{array}\right)
A
B
(
5
6
)
et
A
C
→
(
2
3
)
\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)
A
C
(
2
3
)
. Calculer
A
B
→
⋅
A
C
→
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
A
B
⋅
A
C
Correction
Dans un repère orthonormé
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right)
(
0
;
i
;
j
)
, le produit scalaire de deux vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
de coordonnées respectives
(
x
;
y
)
\left(x;y\right)
(
x
;
y
)
et
(
x
′
;
y
′
)
\left(x';y'\right)
(
x
′
;
y
′
)
est égal à :
u
→
⋅
v
→
=
x
x
′
+
y
y
′
\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'
u
⋅
v
=
x
x
′
+
y
y
′
A
B
→
⋅
A
C
→
=
5
×
2
+
6
×
3
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =5\times 2+6\times 3
A
B
⋅
A
C
=
5
×
2
+
6
×
3
A
B
→
⋅
A
C
→
=
10
+
18
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =10+18
A
B
⋅
A
C
=
10
+
18
Ainsi :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
28
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =28
A
B
⋅
A
C
=
28
Question 2
On considère les vecteurs
A
B
→
(
4
−
1
)
\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-1} \end{array}\right)
A
B
(
4
−
1
)
et
A
C
→
(
1
0
)
\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right)
A
C
(
1
0
)
. Calculer
A
B
→
⋅
A
C
→
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
A
B
⋅
A
C
Correction
Dans un repère orthonormé
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right)
(
0
;
i
;
j
)
, le produit scalaire de deux vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
de coordonnées respectives
(
x
;
y
)
\left(x;y\right)
(
x
;
y
)
et
(
x
′
;
y
′
)
\left(x';y'\right)
(
x
′
;
y
′
)
est égal à :
u
→
⋅
v
→
=
x
x
′
+
y
y
′
\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'
u
⋅
v
=
x
x
′
+
y
y
′
A
B
→
⋅
A
C
→
=
4
×
1
+
(
−
1
)
×
0
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =4\times 1+\left(-1\right)\times 0
A
B
⋅
A
C
=
4
×
1
+
(
−
1
)
×
0
A
B
→
⋅
A
C
→
=
4
+
0
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =4+0
A
B
⋅
A
C
=
4
+
0
Ainsi :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
4
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =4
A
B
⋅
A
C
=
4
Question 3
On considère les vecteurs
u
→
(
−
2
3
)
\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {3} \end{array}\right)
u
(
−
2
3
)
et
v
→
(
6
4
)
\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {4} \end{array}\right)
v
(
6
4
)
. Calculer
u
→
⋅
v
→
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}
u
⋅
v
Correction
Dans un repère orthonormé
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right)
(
0
;
i
;
j
)
, le produit scalaire de deux vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
de coordonnées respectives
(
x
;
y
)
\left(x;y\right)
(
x
;
y
)
et
(
x
′
;
y
′
)
\left(x';y'\right)
(
x
′
;
y
′
)
est égal à :
u
→
⋅
v
→
=
x
x
′
+
y
y
′
\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'
u
⋅
v
=
x
x
′
+
y
y
′
u
→
⋅
v
→
=
−
2
×
6
+
3
×
4
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =-2\times 6+3\times 4
u
⋅
v
=
−
2
×
6
+
3
×
4
u
→
⋅
v
→
=
−
12
+
12
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =-12+12
u
⋅
v
=
−
12
+
12
Ainsi :
u
→
⋅
v
→
=
0
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =0
u
⋅
v
=
0
Si
u
→
⋅
v
→
=
0
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =0
u
⋅
v
=
0
alors les vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
sont orthogonaux.