Produit scalaire

Calculer une mesure avec la formule d'AL-KASHI - Exercice 2

4 min
10
Question 1

A l'aide de la figure ci-dessus, calculer la longueur RSRS à 10−210^{-2} près.

Correction

Dans un triangle quelconque ABCABC en prenant les notations indiquées sur la figure ci-dessous, on a :
  • a2=b2+c2−2bccos⁡(A^)a^{2} =b^{2} +c^{2} -2bc\cos \left(\widehat{A}\right) ; b2=a2+c2−2accos⁡(B^)b^{2} =a^{2} +c^{2} -2ac\cos \left(\widehat{B}\right) ; c2=a2+b2−2abcos⁡(C^)c^{2} =a^{2} +b^{2} -2ab\cos \left(\widehat{C}\right)
D’après la relation d’Al Kashi, nous avons :
RS2=TR2+TS2−2×TR×TS×cos⁡(T^)RS^{2} =TR^{2} +TS^{2} -2\times TR\times TS\times \cos \left(\widehat{T}\right)
RS2=7,82+11,72−2×7,8×11,7×cos⁡(120°)RS^{2} =7,8^{2} +11,7^{2} -2\times 7,8\times 11,7\times \cos \left(120°\right)
RS2=60,84+136,89−182,52×(−12)RS^{2} =60,84+136,89-182,52\times \left(-{\frac{1}{2}}\right)
RS2=197,73−182,52×(−12)RS^{2} =197,73-182,52\times \left(-{\frac{1}{2}}\right)
RS=197,73−182,52×(−12)RS=\sqrt{197,73-182,52\times \left(-{\frac{1}{2}}\right) }
RS≈17RS\approx 17 cm