Primitives

Les primitives usuelles - Exercice 3

7 min
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On suppose que chacune des fonctions est continue sur un intervalle II (que l'on ne cherchera pas à déterminer).
Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes.
Question 1

a(x)=25x3−x23−37a\left(x\right)=\frac{2}{5}x^{3}-\frac{x^{2}}{3}-\frac{3}{7}

Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • A(x)=25×13+1x3+1−13×12+1x2+1−37x+kA\left(x\right)=\frac{2}{5}\times\frac{1}{3+1} x^{3+1} -\frac{1}{3}\times\frac{1}{2+1} x^{2+1} -\frac{3}{7} x+k
    A(x)=25×14x4−13×13x3−37x+kA\left(x\right)=\frac{2}{5}\times\frac{1}{4} x^{4} -\frac{1}{3}\times\frac{1}{3} x^{3} -\frac{3}{7}x+k
    A(x)=110x4−19x3−37x+kA\left(x\right)=\frac{1}{10} x^{4} -\frac{1}{9} x^{3} -\frac{3}{7}x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 2

    b(t)=8t2+29t−18b\left(t\right)=8t^{2} +29t-18

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • B(t)=8×12+1t2+1+29×11+1t1+1−18t+kB\left(t\right)=8\times\frac{1}{2+1} t^{2+1} +29\times\frac{1}{1+1} t^{1+1} -18t+k
    B(t)=8×13t3+29×12t2−18t+kB\left(t\right)=8\times\frac{1}{3} t^{3} +29\times\frac{1}{2} t^{2} -18t+k
    B(t)=83t3+292t2−18t+kB\left(t\right)=\frac{8}{3} t^{3} +\frac{29}{2}t^{2} -18t+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 3

    c(t)=−7t4+11t3−17t2+tc\left(t\right)=-7t^{4} +11t^{3}-17t^{2}+t

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • C(t)=−7×14+1t4+1+11×13+1t3+1−17×12+1t2+1+11+1t1+1+kC\left(t\right)=-7\times\frac{1}{4+1} t^{4+1} +11\times\frac{1}{3+1} t^{3+1}-17\times\frac{1}{2+1}t^{2+1}+\frac{1}{1+1}t^{1+1}+k
    C(t)=−7×15t5+11×14t4−17×13t3+12t2+kC\left(t\right)=-7\times\frac{1}{5} t^{5} +11\times\frac{1}{4} t^{4}-17\times\frac{1}{3}t^{3} +\frac{1}{2}t^{2}+k
    C(t)=−75t5+114t4−173t3+12t2+kC\left(t\right)=-\frac{7}{5} t^{5}+\frac{11}{4}t^{4} -\frac{17}{3}t^{3}+\frac{1}{2}t^{2}+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 4

    d(x)=77x2−44x−3d\left(x\right)=77x^{2}-44x-3

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • D(x)=77×12+1x2+1−44×11+1x1+1−3x+kD\left(x\right)=77\times\frac{1}{2+1} x^{2+1} -44\times\frac{1}{1+1}x^{1+1}-3x+k
    D(x)=77×13x3−44×12x2−3x+kD\left(x\right)=77\times\frac{1}{3} x^{3} -44\times\frac{1}{2}x^{2}-3x+k
    D(x)=773x3−442x2−3x+kD\left(x\right)=\frac{77}{3} x^{3} -\frac{44}{2}x^{2}-3x+k
    D(x)=773x3−22x2−3x+kD\left(x\right)=\frac{77}{3} x^{3}-22x^{2}-3x+k
    où kk est une constante réelle.
    Question 5

    e(u)=9+6u+9u2e\left(u\right)=9+6u+9u^{2}

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • E(u)=9u+6×11+1u1+1+9×12+1u2+1+kE\left(u\right)=9u+6\times\frac{1}{1+1}u^{1+1}+9\times\frac{1}{2+1}u^{2+1}+k
    E(u)=9u+6×12u2+9×13u3+kE\left(u\right)=9u+6\times\frac{1}{2}u^{2}+9\times\frac{1}{3}u^{3}+k
    E(u)=9u+62u2+93u3+kE\left(u\right)=9u+\frac{6}{2}u^{2}+\frac{9}{3}u^{3}+k
    E(u)=9u+3u2+3u3+kE\left(u\right)=9u+3u^{2}+3u^{3}+k
    où kk est une constante réelle.