Primitives

Déterminer les primitives de fonctions de la forme : x↦sin⁡(ax+b)\red{x\mapsto\sin \left(ax+b\right)} - Exercice 2

10 min
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Question 1

Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=sin⁡(28x+π14)f\left(x\right)=\sin \left(28x+\frac{\pi }{14} \right)

Correction
Soit a\color{red}{a} un réel non nul .
  • Une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous avons f(x)=sin⁡(28x+π14)f\left(x\right)=\sin \left({\color{red}{28}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{14}}} \right) avec a=28{\color{red}{a=28}} et b=π14{\color{blue}{b=\frac{\pi }{14}}}
    Or une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=−1acos⁡(ax+b)F\left(x\right)=-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos\left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=−128cos⁡(28x+π14)F\left(x\right)=-\frac{1}{\color{red}{28}}\cos \left({\color{red}{28}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{14}}}\right)

    Question 2

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(t)=sin⁡(−17t+13π3)f\left(t\right)=\sin \left(-17t+\frac{13\pi }{3} \right)

    Correction
    Soit a\color{red}{a} un réel non nul .
  • Une primitive de sin⁡(ax+b)\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −1acos⁡(ax+b)-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous avons f(t)=sin⁡(−17t+13π3)f\left(t\right)=\sin \left({\color{red}{-17}}t+{\color{blue}{\frac{13\pi }{3}}} \right) avec a=−17{\color{red}{a=-17}} et b=13π3{\color{blue}{b=\frac{13\pi }{3}}}
    Or une primitive de sin⁡(at+b)\sin \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −1acos⁡(at+b)-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(t)=−1acos⁡(at+b)F\left(t\right)=-\frac{1}{\color{red}{a}}\cos\left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right)
    F(t)=−1(−17)cos⁡(−17t+13π3)F\left(t\right)=-\frac{1}{\color{red}{\left(-17\right)}}\cos \left({\color{red}{-17}}t+{\color{blue}{\frac{13\pi }{3}}}\right)
    Ainsi :
    F(t)=117cos⁡(−17t+13π3)F\left(t\right)=\frac{1}{\color{red}{17}}\cos \left({\color{red}{-17}}t+{\color{blue}{\frac{13\pi }{3}}}\right)

    Question 3

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(v)=80sin⁡(8v+π4)f\left(v\right)=80\sin \left(8v+\frac{\pi }{4} \right)

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul et k\color{purple}{k} un réel non nul.
  • Une primitive de primitive de k×sin⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −kacos⁡(ax+b)-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous avons f(v)=80sin⁡(8v+π4)f\left(v\right)={\color{purple}{80}}\sin \left({\color{red}{8}}v+{\color{blue}{\frac{\pi }{4}}} \right) avec a=8{\color{red}{a=8}} ; b=π4{\color{blue}{b=\frac{\pi }{4}}} et k=80{\color{purple}{k=80}}
    Or une primitive de k×sin⁡(av+b){\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −kacos⁡(av+b)-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(v)=−kacos⁡(av+b)F\left(v\right)=-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(v)=−808cos⁡(8v+π4)F\left(v\right)=-\frac{{\color{purple}{80}}}{\color{red}{8}}\cos \left({\color{red}{8}}v+{\color{blue}{\frac{\pi }{4}}}\right)

    Après simplification, on obtient : F(v)=−10cos⁡(8v+π4)F\left(v\right)=-10\cos \left(8v+\frac{\pi }{4}\right)
    Question 4

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=5,4sin⁡(0,6x+32π11)f\left(x\right)=5,4\sin \left(0,6x+\frac{32\pi }{11} \right)

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul et k\color{purple}{k} un réel non nul.
  • Une primitive de primitive de k×sin⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −kacos⁡(ax+b)-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous avons f(x)=5,4sin⁡(0,6x+32π11)f\left(x\right)={\color{purple}{5,4}}\sin \left({\color{red}{0,6}}x+{\color{blue}{\frac{32\pi }{11}}} \right) avec a=0,6{\color{red}{a=0,6}} ; b=32π11{\color{blue}{b=\frac{32\pi }{11}}} et k=5,4{\color{purple}{k=5,4}}
    Or une primitive de k×sin⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −kacos⁡(ax+b)-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=−kacos⁡(ax+b)F\left(x\right)=-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=−5,40,6cos⁡(0,6x+32π11)F\left(x\right)=-\frac{{\color{purple}{5,4}}}{\color{red}{0,6}}\cos \left({\color{red}{0,6}}x+{\color{blue}{\frac{32\pi }{11}}}\right)

    Après simplification, on obtient : F(x)=−9cos(0,6x+32π11)F\left(x\right)=-9cos\left(0,6x+\frac{32\pi }{11} \right)
    Question 5

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(u)=3312sin⁡(11u3+2π)f\left(u\right)=\frac{33}{12}\sin \left(\frac{11u}{3}+2\pi \right)

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul et k\color{purple}{k} un réel non nul.
  • Une primitive de primitive de k×sin⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −kacos⁡(ax+b)-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Nous avons f(u)=3312sin⁡(113u+2π)f\left(u\right)={\color{purple}{\frac{33}{12}}}\sin \left({\color{red}{\frac{11}{3}}}u+{\color{blue}{2\pi }} \right) avec a=113{\color{red}{a=\frac{11}{3}}} ; b=2π{\color{blue}{b=2\pi }} et k=3312{\color{purple}{k=\frac{33}{12}}}
    Or une primitive de k×sin⁡(au+b){\color{purple}{k}}\times\sin \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme −kacos⁡(au+b)-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(u)=−kacos⁡(au+b)F\left(u\right)=-\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\cos \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(u)=3312×1−113cos⁡(113u+2π)F\left(u\right)={\color{purple}{\frac{33}{12}}}\times\frac{1}{\color{red}{-\frac{11}{3}}}\cos \left({\color{red}{\frac{11}{3}}}u+{\color{blue}{2\pi}}\right)

    Après simplification, on obtient : F(u)=3312×(−311)cos⁡(113u+2π)=−34cos⁡(113u+2π)F\left(u\right)=\frac{33}{12}\times\left(-\frac{3}{11}\right)\cos\left(\frac{11}{3}u+2\pi \right) = -\frac{3}{4}\cos\left(\frac{11}{3}u+2\pi \right)