Déterminer les primitives de fonctions de la forme : $$\red{x\mapsto\cos \left(ax+b\right)}$$ - Exercice 2

Soit $$x \in \mathbb{R}$$
Nous avons $$f\left(x\right)=\cos \left({\color{red}{1}}x+{\color{blue}{\frac{3\pi }{2}}} \right)$$ avec $${\color{red}{a=1}}$$ et $${\color{blue}{b=\frac{3\pi }{2}}}$$
Or une primitive de $$\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$ est de la forme $$\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$
Ainsi :
Finalement, on obtient : $$F\left(u\right)=\sin \left(x+\frac{3\pi}{2} \right)$$

Soit $$v \in \mathbb{R}$$
Nous avons $$f\left(v\right)=\cos \left({\color{red}{\frac{6}{5}}}v+{\color{blue}{\frac{2\pi }{9}}} \right)$$ avec $${\color{red}{a=\frac{6}{5}}}$$ et $${\color{blue}{b=\frac{2\pi }{9}}}$$
Or une primitive de $$\cos \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right)$$ est de la forme $$\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(v\right)=\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right)$$
Ainsi :
Après simplification, on obtient : $$F\left(v\right)=\frac{5}{6}\sin \left(\frac{6}{5}v+\frac{2\pi}{9} \right)$$

Soit $$u \in \mathbb{R}$$
Nous avons $$f\left(u\right)={\color{purple}{4,8}}\cos \left({\color{red}{6}}u+{\color{blue}{\pi}} \right)$$ avec $${\color{red}{a=6}}$$ ; $${\color{blue}{b=\pi}}$$ et $${\color{purple}{k=4,8}}$$
Or une primitive de $${\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right)$$ est de la forme $$\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(u\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right)$$

Ainsi :
Après simplification, on obtient : $$F\left(u\right)=0,8\sin \left(6u+\pi \right)$$

Soit $$t \in \mathbb{R}$$
Nous avons $$f\left(t\right)={\color{purple}{15}}\cos \left({\color{red}{\frac{5}{4}}}t+{\color{blue}{\frac{13\pi}{8}}} \right)$$ avec $${\color{red}{a=\frac{5}{4}}}$$ ; $${\color{blue}{b=\frac{13\pi}{8}}}$$ et $${\color{purple}{k=15}}$$
Or une primitive de $${\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right)$$ est de la forme $$\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(t\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right)$$
Ainsi :
Après simplification, on obtient : $$F\left(t\right)=15\times\frac{4}{5}\sin \left(\frac{5}{4}t+\frac{13\pi}{8} \right) =12\sin \left(\frac{5}{4}t+\frac{13\pi}{8} \right)$$

Soit $$x \in \mathbb{R}$$
Nous avons $$f\left(x\right)=10\cos \left({\color{red}{0,2}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{9}}} \right)$$ avec $${\color{red}{a=0,2}}$$ et $${\color{blue}{b=\frac{\pi }{9}}}$$ et $${\color{purple}{k=10}}$$
Or une primitive de $${\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$ est de la forme $$\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$
Ainsi :
Aprè simplification, on obtient : $$F\left(x\right)=50\sin \left(0,2x+\frac{\pi}{9} \right)$$