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Déterminer les primitives de fonctions de la forme : x↦cos⁡(ax+b)\red{x\mapsto\cos \left(ax+b\right)} - Exercice 2

10 min
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Question 1

Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=cos⁡(x+3π2)f\left(x\right)=\cos \left(x+\frac{3\pi }{2} \right)

Correction
Soit a\color{red}{a} un réel non nul .
  • Une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Soit x∈Rx \in \mathbb{R}
    Nous avons f(x)=cos⁡(1x+3π2)f\left(x\right)=\cos \left({\color{red}{1}}x+{\color{blue}{\frac{3\pi }{2}}} \right) avec a=1{\color{red}{a=1}} et b=3π2{\color{blue}{b=\frac{3\pi }{2}}}
    Or une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=1asin⁡(ax+b)F\left(x\right)=\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=11sin⁡(1x+3π2)F\left(x\right)=\frac{1}{\color{red}{1}}\sin \left({\color{red}{1}}x+{\color{blue}{\frac{3\pi }{2}}}\right)

    Finalement, on obtient : F(u)=sin⁡(x+3π2)F\left(u\right)=\sin \left(x+\frac{3\pi}{2} \right)
    Question 2

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(v)=cos⁡(65v+2π9)f\left(v\right)=\cos \left(\frac{6}{5}v+\frac{2\pi }{9} \right)

    Correction
    Soit a\color{red}{a} un réel non nul .
  • Une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Soit v∈Rv \in \mathbb{R}
    Nous avons f(v)=cos⁡(65v+2π9)f\left(v\right)=\cos \left({\color{red}{\frac{6}{5}}}v+{\color{blue}{\frac{2\pi }{9}}} \right) avec a=65{\color{red}{a=\frac{6}{5}}} et b=2π9{\color{blue}{b=\frac{2\pi }{9}}}
    Or une primitive de cos⁡(av+b)\cos \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(av+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(v)=1asin⁡(av+b)F\left(v\right)=\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(v)=165sin⁡(65v+2π9)F\left(v\right)=\frac{1}{\color{red}{\frac{6}{5}}}\sin \left({\color{red}{\frac{6}{5}}}v+{\color{blue}\frac{2\pi }{9}}\right)

    Après simplification, on obtient : F(v)=56sin⁡(65v+2π9)F\left(v\right)=\frac{5}{6}\sin \left(\frac{6}{5}v+\frac{2\pi}{9} \right)
    Question 3

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(u)=4,8cos⁡(6u+π)f\left(u\right)=4,8\cos\left(6u+\pi \right)

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul et k\color{purple}{k} un réel non nul.
  • Une primitive de primitive de k×cos⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme kasin⁡(ax+b)\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)

    • Soit u∈Ru \in \mathbb{R}
    Nous avons f(u)=4,8cos⁡(6u+π)f\left(u\right)={\color{purple}{4,8}}\cos \left({\color{red}{6}}u+{\color{blue}{\pi}} \right) avec a=6{\color{red}{a=6}} ; b=π{\color{blue}{b=\pi}} et k=4,8{\color{purple}{k=4,8}}
    Or une primitive de k×cos⁡(au+b){\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme kasin⁡(au+b)\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(u)=kasin⁡(au+b)F\left(u\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right)

    Ainsi :
    F(u)=4,86sin⁡(6u+π)F\left(u\right)=\frac{{\color{purple}{4,8}}}{\color{red}{6}}\sin \left({\color{red}{6}}u+{\color{blue}{\pi }}\right)

    Après simplification, on obtient : F(u)=0,8sin⁡(6u+π)F\left(u\right)=0,8\sin \left(6u+\pi \right)
    Question 4

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(t)=15cos⁡(5t4+13π8)f\left(t\right)=15\cos \left(\frac{5t}{4}+\frac{13\pi}{8} \right)

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul et k\color{purple}{k} un réel non nul.
  • Une primitive de primitive de k×cos⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme kasin⁡(ax+b)\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)

    • Soit t∈Rt \in \mathbb{R}
    Nous avons f(t)=15cos⁡(54t+13π8)f\left(t\right)={\color{purple}{15}}\cos \left({\color{red}{\frac{5}{4}}}t+{\color{blue}{\frac{13\pi}{8}}} \right) avec a=54{\color{red}{a=\frac{5}{4}}} ; b=13π8{\color{blue}{b=\frac{13\pi}{8}}} et k=15{\color{purple}{k=15}}
    Or une primitive de k×cos⁡(at+b){\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme kasin⁡(at+b)\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(t)=kasin⁡(at+b)F\left(t\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(t)=1554sin⁡(54t+13π8)F\left(t\right)={\color{red}\frac{{\color{purple}{15}}}{\frac{5}{4}}}\sin \left({\color{red}{\frac{5}{4}}}t+{\color{blue}{\frac{13\pi}{8}}}\right)

    Après simplification, on obtient : F(t)=15×45sin⁡(54t+13π8)=12sin⁡(54t+13π8)F\left(t\right)=15\times\frac{4}{5}\sin \left(\frac{5}{4}t+\frac{13\pi}{8} \right) =12\sin \left(\frac{5}{4}t+\frac{13\pi}{8} \right)
    Question 5

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=10cos⁡(0,2x+π9)f\left(x\right)=10\cos \left(0,2x+\frac{\pi }{9} \right)

    Correction
    Soit a\color{red}{a} un réel non nul .
  • Une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)

    • Soit x∈Rx \in \mathbb{R}
    Nous avons f(x)=10cos⁡(0,2x+π9)f\left(x\right)=10\cos \left({\color{red}{0,2}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{9}}} \right) avec a=0,2{\color{red}{a=0,2}} et b=π9{\color{blue}{b=\frac{\pi }{9}}} et k=10{\color{purple}{k=10}}
    Or une primitive de k×cos⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme kasin⁡(ax+b)\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=kasin⁡(ax+b)F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=100,2sin⁡(0,2x+π9)F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{10}}}{\color{red}{0,2}}\sin \left({\color{red}{0,2}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{9}}}\right)

    Aprè simplification, on obtient : F(x)=50sin⁡(0,2x+π9)F\left(x\right)=50\sin \left(0,2x+\frac{\pi}{9} \right)

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