Déterminer les primitives de fonctions de la forme : $$\red{x\mapsto\cos \left(ax+b\right)}$$ - Exercice 1

Soit $$x \in \mathbb{R}$$
Nous avons $$f\left(x\right)=\cos \left({\color{red}{2}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{5}}} \right)$$ avec $${\color{red}{a=2}}$$ et $${\color{blue}{b=\frac{\pi }{5}}}$$
Or une primitive de $$\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$ est de la forme $$\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$
Ainsi :

Soit $$v \in \mathbb{R}$$
Nous avons $$f\left(v\right)=\cos \left({\color{red}{7}}v+{\color{blue}{\frac{\pi }{11}}} \right)$$ avec $${\color{red}{a=7}}$$ et $${\color{blue}{b=\frac{\pi }{11}}}$$
Or une primitive de $$\cos \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right)$$ est de la forme $$\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(v\right)=\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right)$$
Ainsi :

Soit $$u \in \mathbb{R}$$
Nous avons $$f\left(u\right)={\color{purple}{\frac{1}{3}}}\cos \left({\color{red}{8}}u+{\color{blue}{\frac{3\pi }{4}}} \right)$$ avec $${\color{red}{a=8}}$$ ; $${\color{blue}{b=\frac{3\pi }{4}}}$$ et $${\color{purple}{k=\frac{1}{3}}}$$
Or une primitive de $${\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right)$$ est de la forme $$\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(u\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right)$$

Ainsi :
Après simplification, on obtient : $$F\left(u\right)=\frac{1}{24}\sin \left(8u+\frac{3\pi}{4} \right)$$

Soit $$t \in \mathbb{R}$$
Nous avons $$f\left(t\right)={\color{purple}{11}}\cos \left({\color{red}{\frac{1}{4}}}t+{\color{blue}{\frac{\pi}{2}}} \right)$$ avec $${\color{red}{a=\frac{1}{4}}}$$ ; $${\color{blue}{b=\frac{\pi}{2}}}$$ et $${\color{purple}{k=11}}$$
Or une primitive de $${\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right)$$ est de la forme $$\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(t\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right)$$
Ainsi :
Finalement, on obtient : $$F\left(t\right)=\frac{11}{4}\sin \left(\frac{1}{4}t+\frac{\pi}{2} \right)$$

Soit $$x \in \mathbb{R}$$
Nous avons $$f\left(x\right)=30\cos \left({\color{red}{5}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{13}}} \right)$$ avec $${\color{red}{a=5}}$$ et $${\color{blue}{b=\frac{\pi }{13}}}$$ et $${\color{purple}{k=30}}$$
Or une primitive de $${\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$ est de la forme $$\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$
Ainsi :
Après simplification, on obtient : $$F\left(x\right)=6\sin \left(5x+\frac{\pi}{13} \right)$$