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Déterminer les primitives de fonctions de la forme : x↦cos⁡(ax+b)\red{x\mapsto\cos \left(ax+b\right)} - Exercice 1

10 min
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Question 1

Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=cos⁡(2x+π5)f\left(x\right)=\cos \left(2x+\frac{\pi }{5} \right)

Correction
Soit a\color{red}{a} un réel non nul .
  • Une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Soit x∈Rx \in \mathbb{R}
    Nous avons f(x)=cos⁡(2x+π5)f\left(x\right)=\cos \left({\color{red}{2}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{5}}} \right) avec a=2{\color{red}{a=2}} et b=π5{\color{blue}{b=\frac{\pi }{5}}}
    Or une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=1asin⁡(ax+b)F\left(x\right)=\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=12sin⁡(2x+π5)F\left(x\right)=\frac{1}{\color{red}{2}}\sin \left({\color{red}{2}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{5}}}\right)
    Question 2

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(v)=cos⁡(7v+π11)f\left(v\right)=\cos \left(7v+\frac{\pi }{11} \right)

    Correction
    Soit a\color{red}{a} un réel non nul .
  • Une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Soit v∈Rv \in \mathbb{R}
    Nous avons f(v)=cos⁡(7v+π11)f\left(v\right)=\cos \left({\color{red}{7}}v+{\color{blue}{\frac{\pi }{11}}} \right) avec a=7{\color{red}{a=7}} et b=π11{\color{blue}{b=\frac{\pi }{11}}}
    Or une primitive de cos⁡(av+b)\cos \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(av+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(v)=1asin⁡(av+b)F\left(v\right)=\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(v)=17sin⁡(7v+π11)F\left(v\right)=\frac{1}{\color{red}{7}}\sin \left({\color{red}{7}}v+{\color{blue}{\frac{\pi }{11}}}\right)
    Question 3

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(u)=13cos⁡(8u+3π4)f\left(u\right)=\frac{1}{3}\cos\left(8u+\frac{3\pi }{4}\right)

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul et k\color{purple}{k} un réel non nul.
  • Une primitive de primitive de k×cos⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme kasin⁡(ax+b)\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)

    • Soit u∈Ru \in \mathbb{R}
    Nous avons f(u)=13cos⁡(8u+3π4)f\left(u\right)={\color{purple}{\frac{1}{3}}}\cos \left({\color{red}{8}}u+{\color{blue}{\frac{3\pi }{4}}} \right) avec a=8{\color{red}{a=8}} ; b=3π4{\color{blue}{b=\frac{3\pi }{4}}} et k=13{\color{purple}{k=\frac{1}{3}}}
    Or une primitive de k×cos⁡(au+b){\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme kasin⁡(au+b)\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(u)=kasin⁡(au+b)F\left(u\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right)

    Ainsi :
    F(u)=13×18sin⁡(8u+3π4)F\left(u\right)={\color{purple}\frac{1}{3}}\times \frac{1}{\color{red}{8}}\sin \left({\color{red}{8}}u+{\color{blue}{\frac{3\pi }{4}}}\right)

    Après simplification, on obtient : F(u)=124sin⁡(8u+3π4)F\left(u\right)=\frac{1}{24}\sin \left(8u+\frac{3\pi}{4} \right)
    Question 4

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(t)=11cos⁡(t4+π2)f\left(t\right)=11\cos \left(\frac{t}{4}+\frac{\pi}{2} \right)

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul et k\color{purple}{k} un réel non nul.
  • Une primitive de primitive de k×cos⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme kasin⁡(ax+b)\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)

    • Soit t∈Rt \in \mathbb{R}
    Nous avons f(t)=11cos⁡(14t+π2)f\left(t\right)={\color{purple}{11}}\cos \left({\color{red}{\frac{1}{4}}}t+{\color{blue}{\frac{\pi}{2}}} \right) avec a=14{\color{red}{a=\frac{1}{4}}} ; b=π2{\color{blue}{b=\frac{\pi}{2}}} et k=11{\color{purple}{k=11}}
    Or une primitive de k×cos⁡(at+b){\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme kasin⁡(at+b)\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(t)=kasin⁡(at+b)F\left(t\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(t)=11×14sin⁡(14t+π2)F\left(t\right)={\color{purple}{11}}\times{\color{red}\frac{1}{4}}\sin \left({\color{red}{\frac{1}{4}}}t+{\color{blue}{\frac{\pi}{2}}}\right)

    Finalement, on obtient : F(t)=114sin⁡(14t+π2)F\left(t\right)=\frac{11}{4}\sin \left(\frac{1}{4}t+\frac{\pi}{2} \right)
    Question 5

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=30cos⁡(5x+π13)f\left(x\right)=30\cos \left(5x+\frac{\pi }{13} \right)

    Correction
    Soit a\color{red}{a} un réel non nul .
  • Une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)

    • Soit x∈Rx \in \mathbb{R}
    Nous avons f(x)=30cos⁡(5x+π13)f\left(x\right)=30\cos \left({\color{red}{5}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{13}}} \right) avec a=5{\color{red}{a=5}} et b=π13{\color{blue}{b=\frac{\pi }{13}}} et k=30{\color{purple}{k=30}}
    Or une primitive de k×cos⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme kasin⁡(ax+b)\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=kasin⁡(ax+b)F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=305sin⁡(5x+π13)F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{30}}}{\color{red}{5}}\sin \left({\color{red}{5}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{13}}}\right)

    Après simplification, on obtient : F(x)=6sin⁡(5x+π13)F\left(x\right)=6\sin \left(5x+\frac{\pi}{13} \right)

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