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Déterminer la primitive d'une fonction vérifiant la condition proposée - Exercice 1

10 min
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On suppose que chacune des fonctions est continue sur un intervalle II (que l'on ne cherchera pas à déterminer).
Pour chaque question, déterminer la primitive de la fonction vérifiant la condition proposée.
Question 1

f(x)=4x−6f\left(x\right)=4x-6   \;;  \; F(1)=3F\left(1\right)=3

Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
    • Il nous faut commencer par déterminer les primitives de ff. Ainsi :
    F(x)=4×12x2−6x+cF\left(x\right)=4\times\frac{1}{2}x^{2} -6x+c
    Soit :
    F(x)=2x2−6x+cF\left(x\right)=2x^{2} -6x+c
    où cc est une constante réelle.
    Maintenant, nous cherchons la primitive vérifiant F(1)=3F\left(1\right)=3. Il vient alors :
    F(1)=3F\left(1\right)=3 équivaut successivement à :
    2×12−6×1+c=32\times1^{2} -6\times 1+c=3
    2−6+c=32-6+c=3
    −4+c=3-4+c=3
    c=3+4c=3+4
    c=7c=7
    La primitive de la fonction ff vérifiant la condition F(1)=3F\left(1\right)=3 est alors :
    F(x)=2x2−6x+7F\left(x\right)=2x^{2} -6x+7

    Question 2

    f(x)=3x2+8x−1f\left(x\right)=3x^{2}+8x-1   \;;  \; F(0)=4F\left(0\right)=4

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • Il nous faut commencer par déterminer les primitives de ff. Ainsi :
    F(x)=3×13x3+8×12x2−x+cF\left(x\right)=3\times \frac{1}{3} x^{3} +8\times \frac{1}{2} x^{2} -x+c
    Soit
    F(x)=x3+4x2−x+cF\left(x\right)=x^{3} +4x^{2} -x+c
    où cc est une constante réelle.
    Maintenant, nous cherchons la primitive vérifiant F(0)=4F\left(0\right)=4. Il vient alors :
    F(0)=4F\left(0\right)=4 équivaut successivement à :
    03+4×02−5×0+c=40^{3} +4\times 0^{2} -5\times 0+c=4
    c=4c=4
    La primitive de la fonction ff vérifiant la condition F(0)=4F\left(0\right)=4 est alors :
    F(x)=x3+4x2−x+4F\left(x\right)=x^{3} +4x^{2} -x+4
    Question 3

    f(x)=(x2−1)2f\left(x\right)=\left(x^{2} -1\right)^{2}   \;;  \; F(1)=6F\left(1\right)=6

    Correction
  • Soit aa une constante ou encore un nombre. Une primitive de aa est axax
  • Une primitive de xx est 12x2\frac{1}{2 }x^{2}
  • Une primitive de xnx^{n} est 1n+1xn+1\frac{1}{n+1 }x^{n+1}
    • Il nous faut commencer par déterminer les primitives de ff. Dans un premier temps, nous allons développer l'expression de la fonction ff .
    f(x)=(x2−1)2f\left(x\right)=\left(x^{2} -1\right)^{2} . On reconnait une identité remarquable .
    • (a−b)2=a2−2ab+b2\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} -2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
    f(x)=(x2)2−2×x2×1+12f\left(x\right)=\left(x^{2} \right)^{2} -2\times x^{2} \times 1+1^{2}
    f(x)=x4−2x2+1f\left(x\right)=x^{4} -2x^{2} +1
    Déterminons les primitives de ff.
    F(x)=14+1x4+1−22+1x2+1+x+cF\left(x\right)=\frac{1}{4+1} x^{4+1} -\frac{2}{2+1} x^{2+1} +x+c
    Soit
    F(x)=15x5−23x3+x+cF\left(x\right)=\frac{1}{5} x^{5} -\frac{2}{3} x^{3} +x+c
    où cc est une constante réelle.
    Maintenant, nous cherchons la primitive vérifiant F(1)=6F\left(1\right)=6. Il vient alors :
    15×15−23×13+1+c=6\frac{1}{5} \times 1^{5} -\frac{2}{3} \times 1^{3} +1+c=6 équivaut successivement à :
    15−23+1+c=6\frac{1}{5} -\frac{2}{3} +1+c=6
    1×35×3−2×53×5+1515+c=6\frac{1\times 3}{5\times 3} -\frac{2\times 5}{3\times 5} +\frac{15}{15} +c=6
    315−1015+1515+c=6\frac{3}{15} -\frac{10}{15} +\frac{15}{15} +c=6
    815+c=6\frac{8}{15} +c=6
    c=6−815c=6-\frac{8}{15}
    c=61−815c=\frac{6}{1} -\frac{8}{15}
    c=6×151×15−815c=\frac{6\times 15}{1\times 15} -\frac{8}{15}
    c=9015−815c=\frac{90}{15} -\frac{8}{15}
    c=8215c=\frac{82}{15}
    La primitive de la fonction ff vérifiant la condition F(1)=6F\left(1\right)=6 est alors :
    F(x)=15x5−23x3+x+8215F\left(x\right)=\frac{1}{5} x^{5} -\frac{2}{3} x^{3} +x+\frac{82}{15}