Déterminer la primitive d'une fonction vérifiant la condition proposée - Exercice 1

Il nous faut commencer par déterminer les primitives de $$f$$. Ainsi :
$$F\left(x\right)=4\times\frac{1}{2}x^{2} -6x+c$$
Soit : où $$c$$ est une constante réelle.
Maintenant, nous cherchons la primitive vérifiant $$F\left(1\right)=3$$. Il vient alors :
$$F\left(1\right)=3$$ équivaut successivement à :
$$2\times1^{2} -6\times 1+c=3$$
$$2-6+c=3$$
$$-4+c=3$$
$$c=3+4$$
$$c=7$$
La primitive de la fonction $$f$$ vérifiant la condition $$F\left(1\right)=3$$ est alors :

Il nous faut commencer par déterminer les primitives de $$f$$. Ainsi :
$$F\left(x\right)=3\times \frac{1}{3} x^{3} +8\times \frac{1}{2} x^{2} -x+c$$
Soit où $$c$$ est une constante réelle.
Maintenant, nous cherchons la primitive vérifiant $$F\left(0\right)=4$$. Il vient alors :
$$F\left(0\right)=4$$ équivaut successivement à :
$$0^{3} +4\times 0^{2} -5\times 0+c=4$$
$$c=4$$
La primitive de la fonction $$f$$ vérifiant la condition $$F\left(0\right)=4$$ est alors :

Il nous faut commencer par déterminer les primitives de $$f$$. Dans un premier temps, nous allons développer l'expression de la fonction $$f$$ .
$$f\left(x\right)=\left(x^{2} -1\right)^{2}$$ . On reconnait une identité remarquable .
$$f\left(x\right)=\left(x^{2} \right)^{2} -2\times x^{2} \times 1+1^{2}$$
$$f\left(x\right)=x^{4} -2x^{2} +1$$
Déterminons les primitives de $$f$$.
$$F\left(x\right)=\frac{1}{4+1} x^{4+1} -\frac{2}{2+1} x^{2+1} +x+c$$
Soit où $$c$$ est une constante réelle.
Maintenant, nous cherchons la primitive vérifiant $$F\left(1\right)=6$$. Il vient alors :
$$\frac{1}{5} \times 1^{5} -\frac{2}{3} \times 1^{3} +1+c=6$$ équivaut successivement à :
$$\frac{1}{5} -\frac{2}{3} +1+c=6$$
$$\frac{1\times 3}{5\times 3} -\frac{2\times 5}{3\times 5} +\frac{15}{15} +c=6$$
$$\frac{3}{15} -\frac{10}{15} +\frac{15}{15} +c=6$$
$$\frac{8}{15} +c=6$$
$$c=6-\frac{8}{15}$$
$$c=\frac{6}{1} -\frac{8}{15}$$
$$c=\frac{6\times 15}{1\times 15} -\frac{8}{15}$$
$$c=\frac{90}{15} -\frac{8}{15}$$
$$c=\frac{82}{15}$$
La primitive de la fonction $$f$$ vérifiant la condition $$F\left(1\right)=6$$ est alors :