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Les nombres complexes
Reconnaître la partie réelle et la partie imaginaire d'une forme algébrique - Exercice 1
4 min
10
Question 1
Pour chaque nombre complexe suivant, déterminer sa forme algébrique puis donner sa partie réelle et sa partie imaginaire.
z
1
=
2
−
5
i
+
6
z_{1} =2-5i+6
z
1
=
2
−
5
i
+
6
Correction
z
=
x
+
i
y
z=\purple{x}+i\blue{y}
z
=
x
+
i
y
est appelée
la forme alg
e
ˊ
brique
\red{\text{la forme algébrique}}
la forme alg
e
ˊ
brique
d'un nombre complexe.
Le réel
x
\purple{x}
x
est appelée la partie réelle de
z
z
z
que l'on note
Re
(
z
)
\text{Re}\left(z\right)
Re
(
z
)
.
Le réel
y
\blue{y}
y
est appelée la partie imaginaire de
z
z
z
que l'on note
Im
(
z
)
\text{Im}\left(z \right)
Im
(
z
)
.
On note alors
Re
(
z
)
=
x
\text{Re}\left(z\right)=\purple{x}
Re
(
z
)
=
x
et
Im
(
z
)
=
y
\text{Im}\left(z\right)=\blue{y}
Im
(
z
)
=
y
z
1
=
2
−
5
i
+
6
z_{1} =\purple{2}\blue{-5}i\purple{+6}
z
1
=
2
−
5
i
+
6
z
1
=
8
−
5
i
z_{1} =\purple{8}\blue{-5}i
z
1
=
8
−
5
i
Ainsi :
Re
(
z
1
)
=
8
\text{Re}\left(z_{1} \right)=\purple{8}
Re
(
z
1
)
=
8
Im
(
z
1
)
=
−
5
\text{Im}\left(z_{1} \right)=\blue{-5}
Im
(
z
1
)
=
−
5
Question 2
z
2
=
5
+
2
i
−
1
−
8
i
z_{2} =5+2i-1-8i
z
2
=
5
+
2
i
−
1
−
8
i
Correction
z
=
x
+
i
y
z=\purple{x}+i\blue{y}
z
=
x
+
i
y
est appelée
la forme alg
e
ˊ
brique
\red{\text{la forme algébrique}}
la forme alg
e
ˊ
brique
d'un nombre complexe.
Le réel
x
\purple{x}
x
est appelée la partie réelle de
z
z
z
que l'on note
Re
(
z
)
\text{Re}\left(z\right)
Re
(
z
)
.
Le réel
y
\blue{y}
y
est appelée la partie imaginaire de
z
z
z
que l'on note
Im
(
z
)
\text{Im}\left(z \right)
Im
(
z
)
.
On note alors
Re
(
z
)
=
x
\text{Re}\left(z\right)=\purple{x}
Re
(
z
)
=
x
et
Im
(
z
)
=
y
\text{Im}\left(z\right)=\blue{y}
Im
(
z
)
=
y
z
2
=
5
+
2
i
−
1
−
8
i
z_{2} =\purple{5}\blue{+2}i\purple{-1}\blue{-8}i
z
2
=
5
+
2
i
−
1
−
8
i
z
2
=
5
−
1
+
2
i
−
8
i
z_{2} =\purple{5-1}\blue{+2}i\blue{-8}i
z
2
=
5
−
1
+
2
i
−
8
i
z
2
=
4
−
6
i
z_{2} =\purple{4}\blue{-6}i
z
2
=
4
−
6
i
Ainsi :
Re
(
z
2
)
=
4
\text{Re}\left(z_{2} \right)=\purple{4}
Re
(
z
2
)
=
4
Im
(
z
2
)
=
−
6
\text{Im}\left(z_{2} \right)=\blue{-6}
Im
(
z
2
)
=
−
6
Question 3
z
3
=
−
i
5
+
2
3
z_{3} =-\frac{i}{5} +\frac{2}{3}
z
3
=
−
5
i
+
3
2
Correction
z
3
=
−
i
5
+
2
3
z_{3} =-\frac{i}{5} +\frac{2}{3}
z
3
=
−
5
i
+
3
2
s'écrit également :
z
3
=
2
3
−
1
5
i
z_{3} =\purple{\frac{2}{3}} \blue{-\frac{1}{5}} i
z
3
=
3
2
−
5
1
i
Ainsi :
Re
(
z
3
)
=
2
3
\text{Re}\left(z_{3} \right)=\purple{\frac{2}{3}}
Re
(
z
3
)
=
3
2
Im
(
z
3
)
=
−
1
5
\text{Im}\left(z_{3} \right)=\blue{-\frac{1}{5}}
Im
(
z
3
)
=
−
5
1
Question 4
z
4
=
3
i
z_{4} =3i
z
4
=
3
i
Correction
Nous pouvons écrire
z
4
z_{4}
z
4
sous la forme
z
4
=
0
+
3
i
z_{4} =\purple{0}+\blue{3}i
z
4
=
0
+
3
i
Ainsi :
Re
(
z
4
)
=
0
\text{Re}\left(z_{4} \right)=\purple{0}
Re
(
z
4
)
=
0
Im
(
z
4
)
=
3
\text{Im}\left(z_{4} \right)=\blue{3}
Im
(
z
4
)
=
3
z
4
z_{4}
z
4
est
appel
e
ˊ
e un imaginaire pur .
\red{\text{appelée un imaginaire pur .}}
appel
e
ˊ
e un imaginaire pur .
Question 5
z
5
=
−
2
z_{5} =-2
z
5
=
−
2
Correction
Nous pouvons écrire
z
5
z_{5}
z
5
sous la forme
z
5
=
−
2
+
0
i
z_{5} =\purple{-2}+\blue{0}i
z
5
=
−
2
+
0
i
Ainsi :
Re
(
z
5
)
=
−
2
\text{Re}\left(z_{5} \right)=\purple{-2}
Re
(
z
5
)
=
−
2
Im
(
z
5
)
=
0
\text{Im}\left(z_{5} \right)=\blue{0}
Im
(
z
5
)
=
0
z
5
z_{5}
z
5
est
tout simplement un r
e
ˊ
el
\red{\text{tout simplement un réel}}
tout simplement un r
e
ˊ
el