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Exploiter géométriquement l'affixe d'un vecteur - Exercice 1

5 min

{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Représenter.}

\;\;

{\color{red}2°)\;Calculer.}

Question 1

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct

\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)

Soient les points

A

B

C

D

d'affixes respectives

z_{A} =-4-3i

z_{B} =3-2i

z_{C} =4+5i

z_{D} =-3+4i

Placer les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ puis donner une conjecture sur la nature du quadrilatère $ABCD$ .

Correction

En plaçant les

4

affixes sur un repère, on conjecture que le quadrilatère

ABCD

est un parallélogramme.

Question 2

Correction

Si $z_{A}$ et $z_{B}$ sont les affixes respectives des points $A$ et $B$ dans un repère orthonormé, alors l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est égale à $z_{\overrightarrow{AB} }=z_{B}-z_{A}$ .

Montrons alors que

z_{\overrightarrow{DC} }=z_{\overrightarrow{AB} }

\red{\text{D'une part :}}

z_{\overrightarrow{DC} }=z_{C}-z_{D}

z_{\overrightarrow{DC} }=4+5i-\left(-3+4i\right)

z_{\overrightarrow{DC} }=4+5i+3-4i

z_{\overrightarrow{DC} }=7+i

\red{\text{D'autre part :}}

z_{\overrightarrow{AB} }=z_{B}-z_{A}

z_{\overrightarrow{AB} }=3-2i-\left(-4-3i\right)

z_{\overrightarrow{AB} }=3-2i+4+3i

z_{\overrightarrow{AB} }=7+i

Nous avons bien

z_{\overrightarrow{DC} }=z_{\overrightarrow{AB} }

. il en résulte que le quadrilatère

ABCD

est un parallélogramme.

Question 3

Correction

Notons

I

le centre du parallélogramme

ABCD

I

est alors le milieu des diagonales. Donc

I

est le milieu de

\left[BD\right]

A

B

z_{A}

z_{B}

Si le point $I$ d'affixe $z_{I}$ est le milieu de $\left[AB\right]$ alors $z_{I}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}$

Il vient alors que :

z_{I}=\frac{z_{B}+z_{D}}{2}

z_{I}=\frac{3-2i-3+4i}{2}

z_{I}=\frac{2i}{2}

z_{I}=i