Les nombres complexes

Exercices types 1ère partie - Exercice 2

30 min
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Dans le plan complexe muni du repère orthonormé (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) .
Soit le nombre complexe z=1+i3z=1+i\sqrt{3}
Question 1

Écrire sous forme algébrique les nombres complexes −z-z et z2z^{2} .

Correction
  • D’une part :\purple{\text{D'une part :}}
    • Comme z=1+i3z=1+i\sqrt{3} alors −z=−(1+i3)-z=-\left(1+i\sqrt{3}\right) donc
    −z=−1−i3-z=-1-i\sqrt{3}
  • D’autre part :\purple{\text{D'autre part :}}
    • z2=(1+i3)2z^{2} =\left(1+i\sqrt{3} \right)^{2}
    z2=12+2×1×i3+(i3)2z^{2} =1^{2} +2\times 1\times i\sqrt{3} +\left(i\sqrt{3} \right)^{2}
    z2=1+2i3+3i2z^{2} =1+2i\sqrt{3} +3i^{2}
    z2=1+2i3+3×(−1)z^{2} =1+2i\sqrt{3} +3\times \left(-1\right)
    z2=1+2i3−3z^{2} =1+2i\sqrt{3} -3
    z2=−2+2i3z^{2} =-2+2i\sqrt{3}

    Question 2

    Donner la forme trigonométrique de −z-z .

    Correction
    On sait que −z=−1−i3-z=-1-i\sqrt{3} . Il va falloir calculer le module et l'argument de −z-z .
    ∣−z∣=(−1)2+(−3)2=2\left|-z\right|=\sqrt{\left(-1 \right)^{2}+\left(-\sqrt{3} \right)^{2} } =2
    Pour l'argument θ\theta on sait que {cos⁡(θ)=partie reˊelle de −zmodule de −zsin⁡(θ)=partie imaginaire de −zmodule de −z\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie réelle de } -z}{\text{module de } -z} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie imaginaire de } -z}{\text{module de } -z } } \end{array}\right.
    On a donc :
    {cos⁡(θ)=−12sin⁡(θ)=−32\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-1 }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-\sqrt{3}}{2} } \end{array}\right.
    Avec le cercle trigonométrique on en déduit que
    θ=−2π3[2π]\theta =-\frac{2\pi }{3} \left[2\pi \right]
    [2π]\left[2\pi \right] signifie modulo 2π2\pi
    Soit zz un nombre complexe dont le module est ∣z∣\left|z\right| et θ\theta un argument de zz.
    • L'écriture trigonométrique de zz est alors z=∣z∣(cos⁡(θ)+isin⁡(θ))z=\left|z\right|\left(\cos \left(\theta \right)+i\sin \left(\theta \right)\right)
  • Une forme trigonométrique de −z-z est alors :
    −z=2(cos⁡(−2π3)+isin⁡(−2π3))-z=2\left(\cos \left(-\frac{2\pi }{3} \right)+i\sin \left(-\frac{2\pi }{3}\right)\right)
    • Question 3

    Donner la forme trigonométrique de z2z^{2} .

    Correction
    On sait que z2=−2+2i3z^{2} =-2+2i\sqrt{3} . Il va falloir calculer le module et l'argument de −z-z .
    ∣−z∣=(−2)2+(23)2=4\left|-z\right|=\sqrt{\left(-2 \right)^{2}+\left(2\sqrt{3} \right)^{2} } =4
    Pour l'argument θ\theta on sait que {cos⁡(θ)=partie reˊelle de z2module de z2sin⁡(θ)=partie imaginaire de z2module de z2\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie réelle de } z^{2}}{\text{module de } z^{2}} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie imaginaire de } z^{2}}{\text{module de } z^{2} } } \end{array}\right.
    On a donc :
    {cos⁡(θ)=−24sin⁡(θ)=234\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-2 }{4} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{2\sqrt{3}}{4} } \end{array}\right.
    {cos⁡(θ)=−12sin⁡(θ)=32\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-1 }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\sqrt{3}}{2} } \end{array}\right.
    Avec le cercle trigonométrique on en déduit que
    θ=2π3[2π]\theta =\frac{2\pi }{3} \left[2\pi \right]
    [2π]\left[2\pi \right] signifie modulo 2π2\pi

    Soit zz un nombre complexe dont le module est ∣z∣\left|z\right| et θ\theta un argument de zz.
    • L'écriture trigonométrique de zz est alors z=∣z∣(cos⁡(θ)+isin⁡(θ))z=\left|z\right|\left(\cos \left(\theta \right)+i\sin \left(\theta \right)\right)
  • Une forme trigonométrique de z2z^{2} est alors :
    z2=4(cos⁡(2π3)+isin⁡(2π3))z^{2}=4\left(\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)+i\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)\right)
    • Question 4
    On considère les points AA, BB, CC d'affixe respectives zz, −z-z et z2z^{2} .

    Placer les points AA, BB, CC .

    Correction
    Le point AA aura donc comme affixe z=1+i3z=1+i\sqrt{3} .
    Le point BB aura donc comme affixe −z=−1−i3-z=-1-i\sqrt{3} .
    Le point CC aura donc comme affixe z2=−2+2i3z^{2} =-2+2i\sqrt{3} .
    Question 5

    Montrer que le triangle ABCABC est rectangle en AA .

    Correction
    Nous allons calculer les cotés du triangles ABCABC.
    Le point AA aura donc comme affixe z=1+i3z=1+i\sqrt{3} .
    Le point BB aura donc comme affixe −z=−1−i3-z=-1-i\sqrt{3} .
    Le point CC aura donc comme affixe z2=−2+2i3z^{2} =-2+2i\sqrt{3} .

    Dans le plan complexe muni d'un repère (O,u⃗,v⃗)\left(O, \vec{u}, \vec{v}\right) , soient AA et BB sont deux points d'affixes respectives zAz_{A} et zBz_{B} . Alors la longueur ABAB est telle que :
    • AB=∣zB−zA∣AB=\left|z_{B} -z_{A} \right|
  • AB=∣−1−i3−(1+i3)∣=∣−1−i3−1−i3∣=∣−2−2i3∣=(−2)2+(−23)2=4AB=\left|-1-i\sqrt{3} -\left(1+i\sqrt{3}\right)\right|=\left|-1-i\sqrt{3} -1-i\sqrt{3}\right|=\left|-2-2i\sqrt{3} \right|=\sqrt{\left(-2\right)^{2} +\left(-2\sqrt{3}\right)^{2} } =4
  • BC=∣−2+2i3−(−1−i3)∣=∣−2+2i3+1+i3∣=∣−1+3i3∣=(−1)2+(33)2=27BC=\left|-2+2i\sqrt{3} -\left(-1-i\sqrt{3}\right)\right|=\left|-2+2i\sqrt{3} +1+i\sqrt{3}\right|=\left|-1+3i\sqrt{3} \right|=\sqrt{\left(-1\right)^{2} +\left(3\sqrt{3} \right)^{2} } =2\sqrt{7}
  • AC=∣−2+2i3−(1+i3)∣=∣−2+2i3−1−i3∣=∣−3+i3∣=(−3)2+(3)2=23AC=\left|-2+2i\sqrt{3} -\left(1+i\sqrt{3}\right)\right|=\left|-2+2i\sqrt{3} -1-i\sqrt{3}\right|=\left|-3+i\sqrt{3}\right|=\sqrt{\left(-3 \right)^{2} +\left(\sqrt{3} \right)^{2} } =2\sqrt{3}
    • Maintenant que nous connaissons les longueurs ABAB, BCBC et ACAC. Nous allons utiliser la réciproque du théorème de Pythagore.
    D'une part : BC2=(27)2=28BC^{2}=\left(2\sqrt{7}\right)^{2}=28
    D'autre part : AC2+AB2=(23)2+(4)2AC^{2}+AB^{2}=\left(2\sqrt{3}\right)^{2}+\left(4\right)^{2} ainsi : AC2+AB2=12+16=28AC^{2}+AB^{2}=12+16=28
    Il en résulte donc que :
    BC2=AB2+AC2BC^{2} =AB^{2} +AC^{2} alors, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABCABC est rectangle en AA.
    Question 6
    Soit DD le milieu de [BC]\left[BC\right].

    Calculer l'affixe du point DD.

    Correction
    Le point AA aura donc comme affixe z=1+i3z=1+i\sqrt{3} .
    Le point BB aura donc comme affixe −z=−1−i3-z=-1-i\sqrt{3} .
    Le point CC aura donc comme affixe z2=−2+2i3z^{2} =-2+2i\sqrt{3} .

    Soient AA un point d'affixe aa et BB d'affixe bb. Le point CC d'affixe cc est le milieu du segment [AB]\left[AB\right] est donnée par la formule :
    • c=a+b2c=\frac{a+b}{2}
    On note zDz_{D} le milieu de [BC]\left[BC\right] .
    zD=−z+z22z_{D}=\frac{-z+z^{2}}{2}
    zD=−1−i3−2+2i32z_{D}=\frac{-1-i\sqrt{3} -2+2i\sqrt{3} }{2}
    zD=−3+i32z_{D}=\frac{-3+i\sqrt{3} }{2}