Les nombres complexes

Exercices types 1ère partie - Exercice 1

20 min
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Dans le plan complexe muni du repère orthonormé (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right) . On considère les points AA, BB, CC et DD d'affixes respectives : zA=1+5iz_{A}=1+5i ; zB=33+3iz_{B}=3\sqrt{3}+3i ; zC=zB‾z_{C}=\overline{z_{B}} et zD=−zCz_{D}=-z_{C} .
Question 1

Donner les formes algébriques de zCz_{C} et zDz_{D}.

Correction
zC=zB‾z_{C}=\overline{z_{B}} ce qui signifie que zCz_{C} est le conjugué de zBz_{B} d'où : zC=33−3iz_{C}=3\sqrt{3}-3i.
Comme zD=−zCz_{D}=-z_{C} alors zD=−(33−3i)z_{D}=-\left(3\sqrt{3}-3i\right) d'où : zD=−33+3iz_{D}=-3\sqrt{3}+3i
Question 2

Construire les points AA, BB, CC et DD dans le plan complexe.

Correction
Question 3

Déterminer la nature du triangle OBCOBC .

Correction
Nous allons calculer les cotés du triangle OBCOBC . L'affixe du point OO est zO=0z_{O}=0.

Dans le plan complexe muni d'un repère (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right), soient AA et BB sont deux points d'affixes respectives zAz_{A} et zBz_{B} . Alors la longueur ABAB est telle que :
  • AB=∣zB−zA∣AB=\left|z_{B} -z_{A} \right|
  • OB=∣zB−zO∣=∣33+3i−0∣=∣33+3i∣=(33)2+(3)2=6OB=\left|z_{B} -z_{O}\right|=\left|3\sqrt{3}+3i-0\right|=\left|3\sqrt{3}+3i\right|=\sqrt{\left(3\sqrt{3}\right)^{2} +\left(3 \right)^{2} } =6
  • OC=∣zC−zO∣=∣33−3i−0∣=∣33−3i∣=(33)2+(−3)2=6OC=\left|z_{C} -z_{O}\right|=\left|3\sqrt{3}-3i-0\right|=\left|3\sqrt{3}-3i\right|=\sqrt{\left(3\sqrt{3}\right)^{2} +\left(-3 \right)^{2} } =6
  • BC=∣zC−zB∣=∣33−3i−(33+3i)∣=∣33−3i−33−3i∣=∣−6i∣=02+(−6)2=6BC=\left|z_{C} -z_{B}\right|=\left|3\sqrt{3}-3i-\left(3\sqrt{3}+3i\right)\right|=\left|3\sqrt{3}-3i-3\sqrt{3}-3i\right|=\left|-6i\right|=\sqrt{0^{2} +\left(-6 \right)^{2} } =6
    • Nous avons bien OB=OC=BCOB=OC=BC. Le triangle OBCOBC est équilatéral.
    Question 4

    Déterminer l'affixe du milieu de [CD]\left[CD\right].

    Correction

    Soient AA un point d'affixe aa et BB d'affixe bb. Le point CC d'affixe cc est le milieu du segment [AB]\left[AB\right] est donnée par la formule :
    • c=a+b2c=\frac{a+b}{2}
    On note zIz_{I} le milieu de [CD]\left[CD\right] .
    zI=zC+zD2=33−3i−33+3i2=0z_{I}=\frac{z_{C}+z_{D}}{2} =\frac{3\sqrt{3} -3i-3\sqrt{3} +3i}{2} =0
    En fait, on remarque que le milieu [CD]\left[CD\right] est également le centre de notre repère.