Déterminer la forme trigonométrique d'un nombre complexe - Exercice 1

$$\left|z_{1} \right|=\sqrt{\left(2\sqrt{3} \right)^{2} +\left(2\right)^{2} } \Leftrightarrow \left|z_{1} \right|=4$$
On a donc $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{2\sqrt{3} }{4} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{2}{4} } \end{array}\right.$$
d'où $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\sqrt{3} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{2} } \end{array}\right.$$
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que $$\theta =\frac{\pi }{6} \left[2\pi \right]$$ ou encore $$\arg \left(z_{1} \right)=\frac{\pi }{6} \left[2\pi \right]$$
L'écriture trigonométrique de $$z_{1}$$ est alors

$$\left|z_{2} \right|=\sqrt{\left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(-\frac{1}{2} \right)^{2} } \Leftrightarrow \left|z_{2} \right|=\frac{\sqrt{2} }{2}$$
On a donc $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\left(\frac{1}{2} \right)}{\left(\frac{\sqrt{2} }{2} \right)} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\left(-\frac{1}{2} \right)}{\left(\frac{\sqrt{2} }{2} \right)} } \end{array}\right.$$
d'où $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\sqrt{2} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {-\frac{\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right.$$
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que $$\theta =-\frac{\pi }{4} \left[2\pi \right]$$ ou encore $$\arg \left(z_{2} \right)=-\frac{\pi }{4} \left[2\pi \right]$$
L'écriture trigonométrique de $$z_{2}$$ est alors

$$\left|z_{3} \right|=\sqrt{3^{2} +\left(-3\sqrt{3} \right)^{2} } \Leftrightarrow \left|z_{3} \right|=6$$
On a donc $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{3}{6} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-3\sqrt{3} }{6} } \end{array}\right.$$
d'où $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {-\frac{\sqrt{3} }{2} } \end{array}\right.$$
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que $$\theta =-\frac{\pi }{3} \left[2\pi \right]$$ ou encore $$\arg \left(z_{3} \right)=-\frac{\pi }{3} \left[2\pi \right]$$
L'écriture trigonométrique de $$z_{3}$$ est alors

$$\left|z_{4} \right|=\sqrt{0^{2} +5^{2} } \Leftrightarrow \left|z_{4} \right|=5$$
On a donc $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{0}{5} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{5}{5} } \end{array}\right.$$
d'où $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {0} \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que $$\theta =\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]$$ ou encore $$\arg \left(z_{4} \right)=\frac{\pi }{2} \left[2\pi \right]$$
L'écriture trigonométrique de $$z_{4}$$ est alors

$$\left|z_{5} \right|=\sqrt{\left(-8\right)^{2} } \Leftrightarrow \left|z_{5} \right|=8$$
On a donc $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{-8}{8} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{0}{8} } \end{array}\right.$$
d'où $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {-1} \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que $$\theta =\pi \left[2\pi \right]$$ ou encore $$\arg \left(z_{5} \right)=\pi \left[2\pi \right]$$
L'écriture trigonométrique de $$z_{5}$$ est alors

Pour ce quotient, calculons le module et l'argument du numérateur $$\sqrt{3} +i$$ puis le module et l'argument du numérateur $$2+2i$$
Nous allons donner directement les modules et les arguments du numérateur et du dénominateur car nous avons eu l'occasion de nous exercer avec les exercices précédents (sinon tu peux reprendre la vidéo Module et Argument).

D'une part pour $$\sqrt{3} +i$$, le module vaut $$2$$ et l'argument vaut $$\theta =\frac{\pi }{6} \left[2\pi \right]$$ .
Donc l'écriture exponentielle de $$\sqrt{3} +i$$ est $$2e^{i\frac{\pi }{6} }$$.

D'autre part pour $$2+2i$$, le module vaut $$2\sqrt{2}$$ et l'argument vaut $$\theta =\frac{\pi }{4} \left[2\pi \right]$$ .
Donc l'écriture exponentielle de $$2+2i$$ est $$2\sqrt{2} e^{i\frac{\pi }{4} }$$.

Ainsi :
$$z_{6} =\frac{\sqrt{3} +i}{2+2i}$$ équivaut successivement à
$$z_{6} =\frac{2e^{i\frac{\pi }{6} } }{2\sqrt{2} e^{i\frac{\pi }{4} } }$$
$$z_{6} =\frac{\sqrt{2} }{2} e^{i\left(\frac{\pi }{6} -\frac{\pi }{4} \right)}$$
$$z_{6} =\frac{\sqrt{2} }{2} e^{i\left(\frac{2\pi }{12} -\frac{3\pi }{12} \right)}$$
$$z_{6} =\frac{\sqrt{2} }{2} e^{-i\frac{\pi }{12} }$$
L'écriture trigonométrique de $$z_{6}$$ est alors

Pour ce produit, calculons le module et l'argument du numérateur $$-1-i$$ puis le module et l'argument du numérateur $$-\sqrt{3} -i$$
Nous allons donner directement les modules et les arguments du numérateur et du dénominateur car nous avons eu l'occasion de nous exercer avec les exercices précédents (sinon tu peux reprendre la vidéo Module et Argument)

D'une part pour $$-1-i$$ le module vaut $$\sqrt{2}$$ et l'argument vaut $$\theta =-\frac{3\pi }{4} \left[2\pi \right]$$ .
Donc l'écriture exponentielle de $$-1-i$$ est $$\sqrt{2} e^{-i\frac{3\pi }{4} }$$.

D'autre part pour $$-\sqrt{3} -i$$ le module vaut $$2$$ et l'argument vaut $$\theta =-\frac{5\pi }{6} \left[2\pi \right]$$ .
Donc l'écriture exponentielle de $$-\sqrt{3} -i$$ est $$2\sqrt{2} e^{-i\frac{5\pi }{6} }$$.

Ainsi :
$$z_{7} =\left(-1-i\right)\left(-\sqrt{3} -i\right)$$
$$z_{7} =\left(\sqrt{2} e^{-i\frac{3\pi }{4} } \right)\left(2\sqrt{2} e^{-i\frac{5\pi }{6} } \right)$$
$$z_{7} =\sqrt{2}\times2\sqrt{2} \times e^{-i\frac{3\pi }{4} } \times e^{-i\frac{5\pi }{6} }$$
$$z_{7} =4 e^{i\left(-\frac{3\pi }{4} +\left(-\frac{5\pi }{6} \right)\right)}$$
$$z_{7} =4 e^{i\left(-\frac{3\pi }{4} -\frac{5\pi }{6} \right)}$$
$$z_{7} =4 e^{i\left(-\frac{9\pi }{12} -\frac{10\pi }{12} \right)}$$
$$z_{7} =4e^{i\left(-\frac{19\pi }{12} \right)}$$
L'écriture trigonométrique de $$z_{7}$$ est alors