Les nombres complexes

Déterminer des modules à l'aide de la définition - Exercice 3

6 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Repreˊsenter.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Représenter.}     \;\; 2°)  Calculer.{\color{red}2°)\;Calculer.}
Question 1
On travaille dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right). On donne les points AA; BB et CC dont les affixes respectives sont zA=−2−2iz_A=-2-2i ; zB=2−iz_B=2-i et zC=−3+2iz_C=-3+2i

Placer les points AA, BB et CC .

Correction
Question 2

Déterminer les distances ABAB ; ACAC et BCBC .

Correction
    Soient AA et BB deux points d'affixe respective zAz_A et zBz_B .
  • La distance\red{\text{distance}} ABAB est égale à AB=∣zB−zA∣=∣zA−zB∣AB=\left|z_{B} -z_{A} \right|=\left|z_{A} -z_{B} \right|
  • AB=∣zB−zA∣⇔AB=∣−2−i−(2−2i)∣⇔AB=∣−2−i−2+2i∣⇔AB=∣−4+i∣⇔AB=(−4)2+12⇔AB=17AB=\left|z_{B} -z_{A} \right|\Leftrightarrow AB=\left|-2-i-\left(2-2i\right)\right|\Leftrightarrow AB=\left|-2-i-2+2i\right|\Leftrightarrow AB=\left|-4+i\right|\Leftrightarrow AB=\sqrt{\left(-4\right)^{2} +1^{2} } \Leftrightarrow AB=\sqrt{17}
  • AC=∣zC−zA∣⇔AC=∣−3+2i−(−2−2i)∣⇔AC=∣−3+2i+2+2i∣⇔AC=∣−1+4i∣⇔AC=(−1)2+42⇔AC=17AC=\left|z_{C} -z_{A} \right|\Leftrightarrow AC=\left|-3+2i-\left(-2-2i\right)\right|\Leftrightarrow AC=\left|-3+2i+2+2i\right|\Leftrightarrow AC=\left|-1+4i\right|\Leftrightarrow AC=\sqrt{\left(-1\right)^{2} +4^{2} } \Leftrightarrow AC=\sqrt{17}
  • BC=∣zC−zB∣⇔BC=∣−3+2i−(2−i)∣⇔BC=∣−3+2i−2+i∣⇔BC=∣−5+3i∣⇔BC=(−5)2+32⇔BC=34BC=\left|z_{C} -z_{B} \right|\Leftrightarrow BC=\left|-3+2i-\left(2-i\right)\right|\Leftrightarrow BC=\left|-3+2i-2+i\right|\Leftrightarrow BC=\left|-5+3i\right|\Leftrightarrow BC=\sqrt{\left(-5\right)^{2} +3^{2} } \Leftrightarrow BC=\sqrt{34}
    • Question 3

    Que peut-on en déduire quant à la nature du triangle ABCABC ?

    Correction
    D’une part : \red{\text{D'une part : }} nous venons de montrer que AB=ACAB=AC . Le triangle est donc isocèle en AA.
    D’autre part : \red{\text{D'autre part : }} On vérifie que :
    BC2=34BC^{2} =34 et que AB2+AC2=34AB^{2}+AC^{2} =34
    D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABCABC est rectangle en AA.
    Finalement, le triangle ABCABC est un triangle rectangle isocèle en AA.