Calculs algébriques : l'inverse et le quotient de deux nombres complexes - Exercice 2

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Question 1
Soient les deux nombres complexes : z1=1+iz_{1} =1+i et z2=−2+3i z_{2} =-2+3i .

Donnez la forme algébrique de z1z2\frac{z_{1} }{z_{2} } .

Correction
  • Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier\red{\text{multiplier}} le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
  • Soit z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy son conjugué, alors z×z‾=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
    • z1z2=1+i−2+3i\frac{z_{1} }{z_{2} } =\frac{1+i}{-2+3i} équivaut successivement à :
    z1z2=(1+i)(−2−3i)(−2+3i)(−2−3i)\frac{z_{1} }{z_{2} } =\frac{\left(1+i\right)\left(-2-3i\right)}{\left(-2+3i\right)\left(-2-3i\right)}
    z1z2=−2−3i−2i−3i2(−2)2+32\frac{z_{1} }{z_{2} } =\frac{-2-3i-2i-3i^{2} }{\left(-2\right)^{2} +3^{2} }
    z1z2=−2−3i−2i−3×(−1)13\frac{z_{1} }{z_{2} } =\frac{-2-3i-2i-3\times \left(-1\right)}{13}
    z1z2=1−5i13\frac{z_{1} }{z_{2} } =\frac{1-5i}{13}
    Ainsi :
    z1z2=113−513i\frac{z_{1} }{z_{2} } =\frac{1}{13} -\frac{5}{13} i

    Question 2

    Donnez la forme algébrique de 1z1−1z2\frac{1}{z_{1} } -\frac{1}{z_{2} } .

    Correction
  • Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier\red{\text{multiplier}} le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
  • Soit z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy son conjugué, alors z×z‾=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
    • 1z1−1z2=11+i−1−2+3i\frac{1}{z_{1} } -\frac{1}{z_{2} } =\frac{1}{1+i} -\frac{1}{-2+3i} équivaut successivement à :
    1z1−1z2=1−i(1+i)(1−i)−(−2−3i)(−2+3i)(−2−3i)\frac{1}{z_{1} } -\frac{1}{z_{2} } =\frac{1-i}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)} -\frac{\left(-2-3i\right)}{\left(-2+3i\right)\left(-2-3i\right)}
    1z1−1z2=1−i12+12−(−2−3i)(−2)2+32\frac{1}{z_{1} } -\frac{1}{z_{2} } =\frac{1-i}{1^{2} +1^{2} } -\frac{\left(-2-3i\right)}{\left(-2\right)^{2} +3^{2} } . Nous allons changer ici les signes du numérateur de la deuxième fraction grâce au signe moins\red{\text{signe moins}} qui est devant la fraction.
    1z1−1z2=1−i2+2+3i13\frac{1}{z_{1} } -\frac{1}{z_{2} } =\frac{1-i}{2} +\frac{2+3i}{13}
    1z1−1z2=(1−i)×132×13+(2+3i)×213×2\frac{1}{z_{1} } -\frac{1}{z_{2} } =\frac{\left(1-i\right)\times 13}{2\times 13} +\frac{\left(2+3i\right)\times 2}{13\times 2}
    1z1−1z2=(1−i)×13+(2+3i)×226\frac{1}{z_{1} } -\frac{1}{z_{2} } =\frac{\left(1-i\right)\times 13+\left(2+3i\right)\times 2}{26}
    1z1−1z2=13−13i+4+6i26\frac{1}{z_{1} } -\frac{1}{z_{2} } =\frac{13-13i+4+6i}{26}
    1z1−1z2=17−7i26\frac{1}{z_{1} } -\frac{1}{z_{2} } =\frac{17-7i}{26}
    Ainsi :
    1z1−1z2=1726−726i\frac{1}{z_{1} } -\frac{1}{z_{2} } =\frac{17}{26} -\frac{7}{26} i

    Question 3

    Donnez la forme algébrique de z1−z2z1+z2\frac{z_{1} -z_{2} }{z_{1} +z_{2} } .

    Correction
  • Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier\red{\text{multiplier}} le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
  • Soit z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy son conjugué, alors z×z‾=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
    • z1−z2z1+z2=1+i−(−2+3i)1+i−2+3i\frac{z_{1} -z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =\frac{1+i-\left(-2+3i\right)}{1+i-2+3i} équivaut successivement à :
    z1−z2z1+z2=1+i+2−3i1+i−2+3i\frac{z_{1} -z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =\frac{1+i+2-3i}{1+i-2+3i}
    z1−z2z1+z2=3−2i−1+4i\frac{z_{1} -z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =\frac{3-2i}{-1+4i}
    z1−z2z1+z2=(3−2i)(−1−4i)(−1+4i)(−1−4i)\frac{z_{1} -z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =\frac{\left(3-2i\right)\left(-1-4i\right)}{\left(-1+4i\right)\left(-1-4i\right)}
    z1−z2z1+z2=−3−12i+2i+8i2(−1)2+42\frac{z_{1} -z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =\frac{-3-12i+2i+8i^{2} }{\left(-1\right)^{2} +4^{2} }
    z1−z2z1+z2=−3−12i+2i+8×(−1)17\frac{z_{1} -z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =\frac{-3-12i+2i+8\times \left(-1\right)}{17}
    z1−z2z1+z2=−3−12i+2i−817\frac{z_{1} -z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =\frac{-3-12i+2i-8}{17}
    z1−z2z1+z2=−11−10i17\frac{z_{1} -z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =\frac{-11-10i}{17}
    Ainsi :
    z1−z2z1+z2=−1117−1017i\frac{z_{1} -z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =-\frac{11}{17} -\frac{10}{17} i

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