Les nombres complexes

Calculs algébriques : l'inverse et le quotient de deux nombres complexes - Exercice 2

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Question 1
Soient les deux nombres complexes : z1=1+iz_{1} =1+i et z2=2+3i z_{2} =-2+3i .

Donnez la forme algébrique de z1z2\frac{z_{1} }{z_{2} } .

Correction
  • Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier\red{\text{multiplier}} le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
  • Soit z=x+iyz=x+iy et z=xiy\overline{z}=x-iy son conjugué, alors z×z=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
  • z1z2=1+i2+3i\frac{z_{1} }{z_{2} } =\frac{1+i}{-2+3i} équivaut successivement à :
    z1z2=(1+i)(23i)(2+3i)(23i)\frac{z_{1} }{z_{2} } =\frac{\left(1+i\right)\left(-2-3i\right)}{\left(-2+3i\right)\left(-2-3i\right)}
    z1z2=23i2i3i2(2)2+32\frac{z_{1} }{z_{2} } =\frac{-2-3i-2i-3i^{2} }{\left(-2\right)^{2} +3^{2} }
    z1z2=23i2i3×(1)13\frac{z_{1} }{z_{2} } =\frac{-2-3i-2i-3\times \left(-1\right)}{13}
    z1z2=15i13\frac{z_{1} }{z_{2} } =\frac{1-5i}{13}
    Ainsi :
    z1z2=113513i\frac{z_{1} }{z_{2} } =\frac{1}{13} -\frac{5}{13} i

    Question 2

    Donnez la forme algébrique de 1z11z2\frac{1}{z_{1} } -\frac{1}{z_{2} } .

    Correction
  • Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier\red{\text{multiplier}} le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
  • Soit z=x+iyz=x+iy et z=xiy\overline{z}=x-iy son conjugué, alors z×z=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
  • 1z11z2=11+i12+3i\frac{1}{z_{1} } -\frac{1}{z_{2} } =\frac{1}{1+i} -\frac{1}{-2+3i} équivaut successivement à :
    1z11z2=1i(1+i)(1i)(23i)(2+3i)(23i)\frac{1}{z_{1} } -\frac{1}{z_{2} } =\frac{1-i}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)} -\frac{\left(-2-3i\right)}{\left(-2+3i\right)\left(-2-3i\right)}
    1z11z2=1i12+12(23i)(2)2+32\frac{1}{z_{1} } -\frac{1}{z_{2} } =\frac{1-i}{1^{2} +1^{2} } -\frac{\left(-2-3i\right)}{\left(-2\right)^{2} +3^{2} } . Nous allons changer ici les signes du numérateur de la deuxième fraction grâce au signe moins\red{\text{signe moins}} qui est devant la fraction.
    1z11z2=1i2+2+3i13\frac{1}{z_{1} } -\frac{1}{z_{2} } =\frac{1-i}{2} +\frac{2+3i}{13}
    1z11z2=(1i)×132×13+(2+3i)×213×2\frac{1}{z_{1} } -\frac{1}{z_{2} } =\frac{\left(1-i\right)\times 13}{2\times 13} +\frac{\left(2+3i\right)\times 2}{13\times 2}
    1z11z2=(1i)×13+(2+3i)×226\frac{1}{z_{1} } -\frac{1}{z_{2} } =\frac{\left(1-i\right)\times 13+\left(2+3i\right)\times 2}{26}
    1z11z2=1313i+4+6i26\frac{1}{z_{1} } -\frac{1}{z_{2} } =\frac{13-13i+4+6i}{26}
    1z11z2=177i26\frac{1}{z_{1} } -\frac{1}{z_{2} } =\frac{17-7i}{26}
    Ainsi :
    1z11z2=1726726i\frac{1}{z_{1} } -\frac{1}{z_{2} } =\frac{17}{26} -\frac{7}{26} i

    Question 3

    Donnez la forme algébrique de z1z2z1+z2\frac{z_{1} -z_{2} }{z_{1} +z_{2} } .

    Correction
  • Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier\red{\text{multiplier}} le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
  • Soit z=x+iyz=x+iy et z=xiy\overline{z}=x-iy son conjugué, alors z×z=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
  • z1z2z1+z2=1+i(2+3i)1+i2+3i\frac{z_{1} -z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =\frac{1+i-\left(-2+3i\right)}{1+i-2+3i} équivaut successivement à :
    z1z2z1+z2=1+i+23i1+i2+3i\frac{z_{1} -z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =\frac{1+i+2-3i}{1+i-2+3i}
    z1z2z1+z2=32i1+4i\frac{z_{1} -z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =\frac{3-2i}{-1+4i}
    z1z2z1+z2=(32i)(14i)(1+4i)(14i)\frac{z_{1} -z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =\frac{\left(3-2i\right)\left(-1-4i\right)}{\left(-1+4i\right)\left(-1-4i\right)}
    z1z2z1+z2=312i+2i+8i2(1)2+42\frac{z_{1} -z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =\frac{-3-12i+2i+8i^{2} }{\left(-1\right)^{2} +4^{2} }
    z1z2z1+z2=312i+2i+8×(1)17\frac{z_{1} -z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =\frac{-3-12i+2i+8\times \left(-1\right)}{17}
    z1z2z1+z2=312i+2i817\frac{z_{1} -z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =\frac{-3-12i+2i-8}{17}
    z1z2z1+z2=1110i17\frac{z_{1} -z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =\frac{-11-10i}{17}
    Ainsi :
    z1z2z1+z2=11171017i\frac{z_{1} -z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =-\frac{11}{17} -\frac{10}{17} i