Taux de variation et nombre dérivé : les notations ΔyΔx\dfrac{\Delta y}{\Delta x} et dydx\dfrac{dy}{dx} - Exercice 1

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Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2−3xf\left(x\right)=x^{2}-3x. On note y=f(x)y=f\left(x\right).
Question 1

Exprimer Δy=f(2+Δx)−f(2)\Delta y=f\left(2+\Delta x\right)-f\left(2\right) en fonction de Δx\Delta x, puis montrer que, pour Δx≠0\Delta x\neq 0, ΔyΔx=Δx+1\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\Delta x+1.

Correction
    Taux de variation et nombre deˊriveˊ\text{\purple{Taux de variation et nombre dérivé}}
  • Si y=f(x)y=f\left(x\right) et si xx passe de x0x_{0} à x0+Δxx_{0}+\Delta x, alors yy varie de Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right). Le taux de variation{\color{blue}{\text{taux de variation}}} de ff entre x0x_{0} et x0+Δxx_{0}+\Delta x est ΔyΔx\dfrac{\Delta y}{\Delta x}.
  • Quand Δx\Delta x tend vers 00, ce taux tend vers le nombre deˊriveˊ{\color{blue}{\text{nombre dérivé}}} de ff en x0x_{0}, que l'on note indifféremment f′(x0)f'\left(x_{0}\right), dydx(x0)\dfrac{dy}{dx}\left(x_{0}\right) ou dfdx(x0)\dfrac{df}{dx}\left(x_{0}\right).
  • En physique, dydx\dfrac{dy}{dx} est le taux de variation infiniteˊsimal{\color{blue}{\text{taux de variation infinitésimal}}} de la grandeur yy par rapport à la grandeur xx.
On calcule d'abord f(2)=22−3×2=−2f\left(2\right)=2^{2}-3\times2=-2.
Ensuite :
f(2+Δx)=(2+Δx)2−3(2+Δx)=4+4Δx+(Δx)2−6−3Δx=(Δx)2+Δx−2f\left(2+\Delta x\right)=\left(2+\Delta x\right)^{2}-3\left(2+\Delta x\right)=4+4\Delta x+\left(\Delta x\right)^{2}-6-3\Delta x=\left(\Delta x\right)^{2}+\Delta x-2
Donc Δy=(Δx)2+Δx−2−(−2)=(Δx)2+Δx\Delta y=\left(\Delta x\right)^{2}+\Delta x-2-\left(-2\right)=\left(\Delta x\right)^{2}+\Delta x.
Comme Δx≠0\Delta x\neq 0, on peut simplifier par Δx\Delta x :
ΔyΔx=(Δx)2+ΔxΔx=Δx+1\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{\left(\Delta x\right)^{2}+\Delta x}{\Delta x}=\Delta x+1
Question 2

Compléter le tableau ci-dessous, puis indiquer de quelle valeur semble se rapprocher ΔyΔx\dfrac{\Delta y}{\Delta x} quand Δx\Delta x se rapproche de 00.

Correction
D'après la question précédente, ΔyΔx=Δx+1\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\Delta x+1. Par exemple, pour Δx=0,1\Delta x=0{,}1 : 0,1+1=1,10{,}1+1=1{,}1.
Quand Δx\Delta x se rapproche de 00, le taux de variation se rapproche de 11.
Question 3

En déduire le nombre dérivé de ff en 22, puis l'écrire avec la notation dydx\dfrac{dy}{dx}. Vérifier ce résultat à l'aide de la fonction dérivée de ff.

Correction
Le nombre dérivé est la limite du taux de variation quand Δx\Delta x tend vers 00 :
f′(2)=dydx(2)=1f'\left(2\right)=\dfrac{dy}{dx}\left(2\right)=1

Vérification : f′(x)=2x−3f'\left(x\right)=2x-3, donc f′(2)=2×2−3=1f'\left(2\right)=2\times2-3=1.
Les sécantes passent par le point A(2;−2)A\left(2;-2\right) ; leur coefficient directeur ΔyΔx\dfrac{\Delta y}{\Delta x} se rapproche de 11, le coefficient directeur de la tangente en AA.

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