Dérivation : Partie enseignement de spécialité

La forme uvuv ou la dérivée d'un produit - Exercice 3

15 min
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Pour les fonctions suivantes calculer la fonction dérivée. On ne cherchera pas à donner le domaine de dérivabilité.
Question 1

f(x)=x3(2x+1)f\left(x\right)=x^{3} \left(2x+1\right)

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=x3u\left(x\right)=x^{3} et v(x)=2x+1v\left(x\right)=2x+1
Ainsi : u′(x)=3x2u'\left(x\right)=3x^{2} et v′(x)=2v'\left(x\right)=2.
Il vient alors que :
f′(x)=3x2×(2x+1)+x3×2f'\left(x\right)=3x^{2} \times \left(2x+1\right)+x^{3} \times 2
f′(x)=3x2×2x+3x2×1+2x3f'\left(x\right)= 3x^{2} \times2x+3x^{2} \times1+2x^{3}
f′(x)=6x3+3x2+2x3f'\left(x\right)=6x^{3} +3x^{2} +2x^{3}
f′(x)=8x3+3x2f'\left(x\right)=8x^{3} +3x^{2}
Question 2

f(x)=(−x2+2x+3)(−5x+1)f\left(x\right)=\left(-x^{2} +2x+3\right)\left(-5x+1\right)

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=−x2+2x+3u\left(x\right)=-x^{2} +2x+3 et v(x)=−5x+1v\left(x\right)=-5x+1
Ainsi : u′(x)=−2x+2u'\left(x\right)=-2x+2 et v′(x)=−5v'\left(x\right)=-5.
Il vient alors que :
f′(x)=(−2x+2)×(−5x+1)+(−x2+2x+3)×(−5)f'\left(x\right)=\left(-2x+2\right)\times \left(-5x+1\right)+\left(-x^{2} +2x+3\right)\times \left(-5\right)
f′(x)=(−2x)×(−5x)+(−2x)×1+2×(−5x)+2×1+(−x2×(−5)+2x×(−5)+3×(−5)f'\left(x\right)=(-2x)\times(-5x)+(-2x)\times1+2\times(-5x)+2\times1+(-x^{2}\times(-5)+2x\times(-5)+3\times(-5)
f′(x)=10x2−2x−10x+2+5x2−10x−15f'\left(x\right)=10x^{2}-2x-10x+2+5x^{2}-10x-15
f′(x)=15x2−22x−13f'\left(x\right)=15x^{2} -22x-13
Question 3

f(x)=2x2(−x+1)f\left(x\right)=2x^{2} \left(-x+1\right)

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=2x2u\left(x\right)=2x^{2} et v(x)=−x+1v\left(x\right)=-x+1
Ainsi : u′(x)=4xu'\left(x\right)=4x et v′(x)=−1v'\left(x\right)=-1.
Il vient alors que :
f′(x)=4x×(−x+1)+2x2×(−1)f'\left(x\right)=4x\times \left(-x+1\right)+2x^{2} \times \left(-1\right)
f′(x)=4x×(−x)+4x×1−2x2f'\left(x\right)=4x\times \left(-x\right)+4x\times 1-2x^{2}
f′(x)=−4x2+4x−2x2f'\left(x\right)=-4x^{2} +4x-2x^{2}
f′(x)=−6x2+4xf'\left(x\right)=-6x^{2} +4x

Question 4

f(x)=(4x2−3x)(−2x2+6x+1)f\left(x\right)=(4x^{2}-3x) \left(-2x^{2}+6x+1\right)

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=4x2−3xu\left(x\right)=4x^{2}-3x et v(x)=−2x2+6x+1v\left(x\right)=-2x^{2}+6x+1
Ainsi : u′(x)=4×2x−3=8x−3u'\left(x\right)=4\times2x-3 =8x-3 et v′(x)=−2×2x+6=−4x+6v'\left(x\right)=-2\times2x+6=-4x+6.
Il vient alors que :
f′(x)=(8x−3)×(−2x2+6x+1)+(4x2−3x)×(−4x+6)f'\left(x\right)=\left(8x-3\right)\times \left(-2x^{2}+6x+1\right)+\left(4x^{2}-3x\right)\times \left(-4x+6\right)
f′(x)=8x×(−2x2)+8x×6x+8x×1−(3×(−2x2)+3×6x+3×1)+4x2×(−4x)+4x2×6−(3x×(−4x)+3x×6)f'\left(x\right)=8x\times (-2x^{2})+8x\times6x+8x\times1-(3\times(-2x^{2})+3\times6x+3\times1)+4x^{2}\times(-4x)+4x^{2}\times6-(3x\times(-4x)+3x\times6)
f′(x)=−16x3+48x2+8x−(−6x2+18x+3)−16x3+24x2−(−12x2+18x)f'\left(x\right)= -16x^{3}+48x^{2}+8x-(-6x^{2}+18x+3)-16x^{3}+24x^{2}-(-12x^{2}+18x)
f′(x)=48x2+24x2+6x2+12x2+8x−18x−12x−3f'\left(x\right)= 48x^{2}+24x^{2}+6x^{2}+12x^{2}+8x-18x-12x-3
f′(x)=−32x3+90x2−30x−3f'\left(x\right)=-32x^{3}+90x^{2} -30x-3