Dérivation : Partie enseignement de spécialité
La forme uv ou la dérivée d'un produit
Exercice 1
Pour les fonctions suivantes calculer la fonction dérivée. On ne cherchera pas à donner le domaine de dérivabilité.
1
f(x)=(3x−1)(2x+6)
Correction
f est dérivable sur R.
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=3x−1 et v(x)=2x+6
Ainsi : u′(x)=3 et v′(x)=2.
Il vient alors que :
f′(x)=3×(2x+6)+(3x−1)×2
f′(x)=3×2x+3×6+3x×2+(−1)×2
f′(x)=6x+18+6x−2
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=3x−1 et v(x)=2x+6
Ainsi : u′(x)=3 et v′(x)=2.
Il vient alors que :
f′(x)=3×(2x+6)+(3x−1)×2
f′(x)=3×2x+3×6+3x×2+(−1)×2
f′(x)=6x+18+6x−2
f′(x)=12x+16
2
f(x)=(5x+3)(6x+1)
Correction
f est dérivable sur R.
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=5x+3 et v(x)=6x+1
Ainsi : u′(x)=5 et v′(x)=6.
Il vient alors que :
f′(x)=5×(6x+1)+(5x+3)×6
f′(x)=5×6x+5×1+5x×6+3×6
f′(x)=30x+5+30x+18
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=5x+3 et v(x)=6x+1
Ainsi : u′(x)=5 et v′(x)=6.
Il vient alors que :
f′(x)=5×(6x+1)+(5x+3)×6
f′(x)=5×6x+5×1+5x×6+3×6
f′(x)=30x+5+30x+18
f′(x)=60x+23
3
f(x)=(7x+4)(−3x+2)
Correction
f est dérivable sur R.
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=7x+4 et v(x)=−3x+2
Ainsi : u′(x)=7 et v′(x)=−3.
Il vient alors que :
f′(x)=7×(−3x+2)+(7x+4)×(−3)
f′(x)=−21x+14−21x−12
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=7x+4 et v(x)=−3x+2
Ainsi : u′(x)=7 et v′(x)=−3.
Il vient alors que :
f′(x)=7×(−3x+2)+(7x+4)×(−3)
f′(x)=−21x+14−21x−12
f′(x)=−42x+2
4
f(x)=(−2x+9)(−x+4)
Correction
f est dérivable sur R.
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=−2x+9 et v(x)=−x+4
Ainsi : u′(x)=−2 et v′(x)=−1.
Il vient alors que :
f′(x)=(−2)×(−x+4)+(−2x+9)×(−1)
f′(x)=2x−8+2x−9
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=−2x+9 et v(x)=−x+4
Ainsi : u′(x)=−2 et v′(x)=−1.
Il vient alors que :
f′(x)=(−2)×(−x+4)+(−2x+9)×(−1)
f′(x)=2x−8+2x−9
f′(x)=4x−17
5
f(x)=(3x2−x)(4x−1)
Correction
f est dérivable sur R.
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=3x2−x et v(x)=4x−1
Ainsi : u′(x)=6x−1 et v′(x)=4.
Il vient alors que :
f′(x)=(6x−1)×(4x−1)+(3x2−x)×4
f′(x)=24x2−6x−4x+1+12x2−4x
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=3x2−x et v(x)=4x−1
Ainsi : u′(x)=6x−1 et v′(x)=4.
Il vient alors que :
f′(x)=(6x−1)×(4x−1)+(3x2−x)×4
f′(x)=24x2−6x−4x+1+12x2−4x
f′(x)=36x2−14x+1
Exercice 2
1
f(x)=x3(2x+1)
Correction
f est dérivable sur R.
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=x3 et v(x)=2x+1
Ainsi : u′(x)=3x2 et v′(x)=2.
Il vient alors que :
f′(x)=3x2×(2x+1)+x3×2
f′(x)=3x2×2x+3x2×1+2x3
f′(x)=6x3+3x2+2x3
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=x3 et v(x)=2x+1
Ainsi : u′(x)=3x2 et v′(x)=2.
Il vient alors que :
f′(x)=3x2×(2x+1)+x3×2
f′(x)=3x2×2x+3x2×1+2x3
f′(x)=6x3+3x2+2x3
f′(x)=8x3+3x2
2
f(x)=(−x2+2x+3)(−5x+1)
Correction
f est dérivable sur R.
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=−x2+2x+3 et v(x)=−5x+1
Ainsi : u′(x)=−2x+2 et v′(x)=−5.
Il vient alors que :
f′(x)=(−2x+2)×(−5x+1)+(−x2+2x+3)×(−5)
f′(x)=(−2x)×(−5x)+(−2x)×1+2×(−5x)+2×1+(−x2×(−5)+2x×(−5)+3×(−5)
f′(x)=10x2−2x−10x+2+5x2−10x−15
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=−x2+2x+3 et v(x)=−5x+1
Ainsi : u′(x)=−2x+2 et v′(x)=−5.
Il vient alors que :
f′(x)=(−2x+2)×(−5x+1)+(−x2+2x+3)×(−5)
f′(x)=(−2x)×(−5x)+(−2x)×1+2×(−5x)+2×1+(−x2×(−5)+2x×(−5)+3×(−5)
f′(x)=10x2−2x−10x+2+5x2−10x−15
f′(x)=15x2−22x−13
3
f(x)=2x2(−x+1)
Correction
f est dérivable sur R.
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=2x2 et v(x)=−x+1
Ainsi : u′(x)=4x et v′(x)=−1.
Il vient alors que :
f′(x)=4x×(−x+1)+2x2×(−1)
f′(x)=4x×(−x)+4x×1−2x2
f′(x)=−4x2+4x−2x2
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=2x2 et v(x)=−x+1
Ainsi : u′(x)=4x et v′(x)=−1.
Il vient alors que :
f′(x)=4x×(−x+1)+2x2×(−1)
f′(x)=4x×(−x)+4x×1−2x2
f′(x)=−4x2+4x−2x2
f′(x)=−6x2+4x
4
f(x)=(4x2−3x)(−2x2+6x+1)
Correction
f est dérivable sur R.
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=4x2−3x et v(x)=−2x2+6x+1
Ainsi : u′(x)=4×2x−3=8x−3 et v′(x)=−2×2x+6=−4x+6.
Il vient alors que :
f′(x)=(8x−3)×(−2x2+6x+1)+(4x2−3x)×(−4x+6)
f′(x)=8x×(−2x2)+8x×6x+8x×1−(3×(−2x2)+3×6x+3×1)+4x2×(−4x)+4x2×6−(3x×(−4x)+3x×6)
f′(x)=−16x3+48x2+8x−(−6x2+18x+3)−16x3+24x2−(−12x2+18x)
f′(x)=48x2+24x2+6x2+12x2+8x−18x−12x−3
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=4x2−3x et v(x)=−2x2+6x+1
Ainsi : u′(x)=4×2x−3=8x−3 et v′(x)=−2×2x+6=−4x+6.
Il vient alors que :
f′(x)=(8x−3)×(−2x2+6x+1)+(4x2−3x)×(−4x+6)
f′(x)=8x×(−2x2)+8x×6x+8x×1−(3×(−2x2)+3×6x+3×1)+4x2×(−4x)+4x2×6−(3x×(−4x)+3x×6)
f′(x)=−16x3+48x2+8x−(−6x2+18x+3)−16x3+24x2−(−12x2+18x)
f′(x)=48x2+24x2+6x2+12x2+8x−18x−12x−3
f′(x)=−32x3+90x2−30x−3
Exercice 3
Pour les fonctions suivantes calculer la fonction dérivée. On ne cherchera pas à donner le domaine de dérivabilité.
1
f(x)=(4x−3)(2x+5)
Correction
f est dérivable sur R.
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=4x−3 et v(x)=2x+5
Ainsi : u′(x)=4 et v′(x)=2.
Il vient alors que :
f′(x)=4×(2x+5)+(4x−3)×2
f′(x)=4×2x+4×5+4x×2+(−3)×2
f′(x)=8x+20+8x−6
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=4x−3 et v(x)=2x+5
Ainsi : u′(x)=4 et v′(x)=2.
Il vient alors que :
f′(x)=4×(2x+5)+(4x−3)×2
f′(x)=4×2x+4×5+4x×2+(−3)×2
f′(x)=8x+20+8x−6
f′(x)=16x+14
2
f(x)=(3x+7)(5x+1)
Correction
f est dérivable sur R.
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=3x+7 et v(x)=5x+1
Ainsi : u′(x)=3 et v′(x)=5.
Il vient alors que :
f′(x)=3×(5x+1)+(3x+7)×5
f′(x)=3×5x+3×1+3x×5+7×5
f′(x)=15x+3+15x+35
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=3x+7 et v(x)=5x+1
Ainsi : u′(x)=3 et v′(x)=5.
Il vient alors que :
f′(x)=3×(5x+1)+(3x+7)×5
f′(x)=3×5x+3×1+3x×5+7×5
f′(x)=15x+3+15x+35
f′(x)=30x+38
3
f(x)=(8x+4)(−2x+2)
Correction
f est dérivable sur R.
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=8x+4 et v(x)=−2x+2
Ainsi : u′(x)=8 et v′(x)=−2.
Il vient alors que :
f′(x)=8×(−2x+2)+(8x+4)×(−2)
f′(x)=8×(−2x)+8×2+8x×(−2)+4×(−2)
f′(x)=−16x+16−16x−8
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=8x+4 et v(x)=−2x+2
Ainsi : u′(x)=8 et v′(x)=−2.
Il vient alors que :
f′(x)=8×(−2x+2)+(8x+4)×(−2)
f′(x)=8×(−2x)+8×2+8x×(−2)+4×(−2)
f′(x)=−16x+16−16x−8
f′(x)=−32x+8
4
f(x)=(−4x+9)(−5x+4)
Correction
f est dérivable sur R.
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=−4x+9 et v(x)=−5x+4
Ainsi : u′(x)=−4 et v′(x)=−5.
Il vient alors que :
f′(x)=(−4)×(−5x+4)+(−4x+9)×(−5)
f′(x)=(−4)×(−5x)+(−4)×4+(−4x)×(−5)+9×(−5)
f′(x)=20x−16+20x−45
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=−4x+9 et v(x)=−5x+4
Ainsi : u′(x)=−4 et v′(x)=−5.
Il vient alors que :
f′(x)=(−4)×(−5x+4)+(−4x+9)×(−5)
f′(x)=(−4)×(−5x)+(−4)×4+(−4x)×(−5)+9×(−5)
f′(x)=20x−16+20x−45
f′(x)=40x−61
5
f(x)=(5x2−2x)(3x−4)
Correction
f est dérivable sur R.
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=5x2−2x et v(x)=3x−4
Ainsi : u′(x)=10x−2 et v′(x)=3.
Il vient alors que :
f′(x)=(10x−2)×(3x−4)+(5x2−2x)×3
f′(x)=10x×3x+10x×(−4)+(−2)×3x+(−2)×(−4)+5x2×3−2x×3
f′(x)=30x2−40x−6x+8+15x2−6x
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=5x2−2x et v(x)=3x−4
Ainsi : u′(x)=10x−2 et v′(x)=3.
Il vient alors que :
f′(x)=(10x−2)×(3x−4)+(5x2−2x)×3
f′(x)=10x×3x+10x×(−4)+(−2)×3x+(−2)×(−4)+5x2×3−2x×3
f′(x)=30x2−40x−6x+8+15x2−6x
f′(x)=45x2−52x+8
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