Dérivation : Partie enseignement de spécialité

La forme 1v\frac{1}{v} ou la dérivée de l'inverse - Exercice 3

3 min
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Soit ff la fonction définie et dérivable sur ]−∞;2[\left]-\infty ;2\right[ par : f(x)=−6x+3+52x−4f\left(x\right)=-6x+3+\frac{5}{2x-4} .
Question 1

Déterminer l'expression de f′f' .

Correction
    Deˊriveˊe de l’inverse\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
On considère une fonction vv dérivable sur un intervalle II alors
(1v)′=−v’v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
ff est dérivable sur ]−∞;2[\left]-\infty ;2\right[ .
On reconnaît la forme (1v)′=−v′v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} } avec v(x)=2x−4v\left(x\right)=2x-4 . Ainsi : v′(x)=2v'\left(x\right)=2
Il vient alors que :
f′(x)=−6+5×−2(2x−4)2f'\left(x\right)=-6+5\times \frac{-2}{\left(2x-4\right)^{2} }
f′(x)=−6−10(2x−4)2f'\left(x\right)=-6-\frac{10}{\left(2x-4\right)^{2} }