Dérivation : Partie enseignement de spécialité

La forme 1v\frac{1}{v} ou la dérivée de l'inverse - Exercice 2

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Dans cet exercice, on admettra que toutes les fonctions sont dérivables sur un intervalle II .
Pour les fonctions suivantes calculer la fonction dérivée :
Question 1

Soit la fonction ff définie par f(x)=1cos(x) f\left(x\right)=\frac{1}{{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }} .

Correction
ff est dérivable sur II.
    Deˊriveˊe de l’inverse\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
On considère une fonction vv dérivable sur un intervalle II alors
(1v)′=−v’v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
On reconnaît la forme (1v)′=−v′v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} } avec v(x)=cos(x) v\left(x\right)={\mathrm{cos} \left(x\right)\ }
Ainsi : v′(x)=−sin(x) v'\left(x\right)=-{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }.
Il vient alors que :
f′(x)=−(−sin(x) )(cos(x) )2f'\left(x\right)=\frac{-\left(-{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ } \right)^{2} }
Ainsi :
f′(x)=sin(x) (cos(x) )2f'\left(x\right)=\frac{{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }}{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ } \right)^{2} }

Question 2

Soit la fonction ff définie par f(x)=1sin(x) f\left(x\right)=\frac{1}{{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }} .

Correction
ff est dérivable sur II.
    Deˊriveˊe de l’inverse\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
On considère une fonction vv dérivable sur un intervalle II alors
(1v)′=−v’v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
On reconnaît la forme (1v)′=−v′v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} } avec v(x)=sin(x) v\left(x\right)={\mathrm{sin} \left(x\right)\ }
Ainsi : v′(x)=cos(x) v'\left(x\right)={\mathrm{cos} \left(x\right)\ }.
Il vient alors que :
Ainsi :
f′(x)=−cos(x) (sin(x) )2f'\left(x\right)=-\frac{{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }}{\left({\mathrm{sin} \left(x\right)\ } \right)^{2} }