Dérivation : Partie enseignement de spécialité

La forme 1v\frac{1}{v} ou la dérivée de l'inverse - Exercice 1

15 min
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Pour les fonctions suivantes calculer la fonction dérivée :
Question 1

Soit la fonction ff définie sur ]−1;1[\left]-1;1\right[ par f(x)=11−x2f\left(x\right)=\frac{1}{1-x^{2} }.

Correction
ff est dérivable sur ]−1;1[\left]-1;1\right[.
    Deˊriveˊe de l’inverse\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
On considère une fonction vv dérivable sur un intervalle II alors
(1v)′=−v’v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
On reconnaît la forme (1v)′=−v′v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} } avec v(x)=1−x2v\left(x\right)=1-x^{2}
Ainsi : v′(x)=−2xv'\left(x\right)=-2x.
Il vient alors que :
f′(x)=−(−2x)(1−x2)2f'\left(x\right)=\frac{-\left(-2x\right)}{\left(1-x^{2} \right)^{2} }
f′(x)=2x(1−x2)2f'\left(x\right)=\frac{2x}{\left(1-x^{2} \right)^{2} }

Question 2

f(x)=13−6xf\left(x\right)=\frac{1}{3-6x}.

Correction
ff est dérivable sur R−{12}\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\} (on enlève la valeur interdite).
    Deˊriveˊe de l’inverse\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
On considère une fonction vv dérivable sur un intervalle II alors
(1v)′=−v’v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
On reconnaît la forme (1v)′=−v′v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} } avec v(x)=3−6xv\left(x\right)=3-6x
Ainsi : v′(x)=−6v'\left(x\right)=-6.
Il vient alors que :
f′(x)=−(−6)(3−6x)2f'\left(x\right)=\frac{-\left(-6\right)}{\left(3-6x \right)^{2} }
f′(x)=6(3−6x)2f'\left(x\right)=\frac{6}{\left(3-6x \right)^{2} }
Question 3

f(x)=57x−1f\left(x\right)=\frac{5}{7x-1}.

Correction
ff est dérivable sur R−{17}\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{7}\right\} (on enlève la valeur interdite).
    Deˊriveˊe de l’inverse\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
On considère une fonction vv dérivable sur un intervalle II alors
(1v)′=−v’v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
On peut écrire f(x)=57x−1f\left(x\right)=\frac{5}{7x-1} sous la forme f(x)=5×17x−1f\left(x\right)=5\times\frac{1}{7x-1}
On reconnaît la forme (k×1v)′=k×−v′v2\left(k\times\frac{1}{v} \right)^{'} =k\times\frac{-v'}{v^{2} } avec v(x)=7x−1v\left(x\right)=7x-1 et k=5k=5
Ainsi : v′(x)=7v'\left(x\right)=7.
Il vient alors que :
f′(x)=5×−7(7x−1)2f'\left(x\right)=5\times\frac{-7}{\left(7x-1 \right)^{2} }
f′(x)=−35(7x−1)2f'\left(x\right)=\frac{-35}{\left(7x-1 \right)^{2} }
Question 4

f(x)=−2cos⁡(x)f\left(x\right)=\frac{-2}{\cos \left(x\right)}. On suppose que la fonction ff est dérivable sur un intervalle II que l'on ne cherchera pas à déterminer.

Correction
ff est dérivable sur II.
    Deˊriveˊe de l’inverse\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
On considère une fonction vv dérivable sur un intervalle II alors
(1v)′=−v’v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
On peut écrire f(x)=−2cos⁡(x)f\left(x\right)=\frac{-2}{\cos \left(x\right)} sous la forme f(x)=−2×1cos⁡(x)f\left(x\right)=-2\times \frac{1}{\cos \left(x\right)}
On reconnaît la forme (k×1v)′=k×−v′v2\left(k\times\frac{1}{v} \right)^{'} =k\times\frac{-v'}{v^{2} } avec v(x)=cos⁡(x)v\left(x\right)=\cos \left(x\right) et k=−2k=-2
Ainsi : v′(x)=−sin⁡(x)v'\left(x\right)=-\sin \left(x\right).
Il vient alors que :
f′(x)=−2×−(−sin⁡(x))(cos⁡(x))2f'\left(x\right)=-2\times \frac{-\left(-\sin \left(x\right)\right)}{\left(\cos \left(x\right)\right)^{2} }
f′(x)=−2sin⁡(x)(cos⁡(x))2f'\left(x\right)=\frac{-2\sin \left(x\right)}{\left(\cos \left(x\right)\right)^{2} }
Ainsi :
f′(x)=−2sin⁡(x)cos⁡2(x)f'\left(x\right)=\frac{-2\sin \left(x\right)}{\cos ^{2} \left(x\right)}

Question 5

f(x)=−2−3x+12f\left(x\right)=\frac{-2}{-3x+12}

Correction
ff est dérivable sur R−{4}\mathbb{R}-\left\{4\right\} (on enlève la valeur interdite).
    Deˊriveˊe de l’inverse\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
On considère une fonction vv dérivable sur un intervalle II alors
(1v)′=−v’v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
On peut écrire f(x)=−2−3x+12f\left(x\right)=\frac{-2}{-3x+12} sous la forme f(x)=−2×1−3x+12f\left(x\right)=-2\times\frac{1}{-3x+12}
On reconnaît la forme (k×1v)′=k×−v′v2\left(k\times\frac{1}{v} \right)^{'} =k\times\frac{-v'}{v^{2} } avec v(x)=−3x+12v\left(x\right)=-3x+12 et k=−2k=-2
Ainsi : v′(x)=−3v'\left(x\right)=-3.
Il vient alors que :
f′(x)=−2×−(−3)(−3x+12)2f'\left(x\right)=-2\times \frac{-\left(-3\right)}{\left(-3x+12\right)^{2} }
f′(x)=−6(−3x+12)2f'\left(x\right)=\frac{-6}{\left(-3x+12 \right)^{2} }