Exercices types : 1ère partie - Exercice 1

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Une entreprise produit des panneaux solaires. Une étude de marché permet d’estimer que la production pour le mois à venir est comprise entre 1 5001\,500 et 3 0003\,000 panneaux solaires. On s’intéresse au bénéfice de l’entreprise sur la vente des panneaux solaires produits. On décide de modéliser l’évolution du bénéfice de l’entreprise, exprimé en centaines d’euros, par la fonction ff définie ci-dessous, où xx désigne le nombre de centaines de panneaux solaires produits :
f(x)=−2x2+90x−400f\left(x\right)=-2x^{2}+90x-400
On admet que la fonction ff est dérivable sur l’intervalle [15;30]\left[15; 30\right] et on note f′f' sa fonction dérivée.
Question 1

Calculer la dérivée de ff notée f′f'.

Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée de x2{\color{blue}x^{2}} est 2x.{\color{blue}2x} .
  • La dérivée d'un nombre×x2{\color{blue}nombre\times x^{2}} est nombre×2x.{\color{blue}nombre\times2x} .
    • Soit f(x)=−2x2+90x−400f\left(x\right)=-2x^{2}+90x-400 alors :
    f′(x)=−2×2x+90f'\left(x\right)=-2\times2x+90
    f′(x)=−4x+90f'\left(x\right)=-4x+90

    Question 2

    Étudier les variations de la fonction ff sur l’intervalle [15;30]\left[15; 30\right].

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    Nous savons que : f′(x)=−4x+90f'\left(x\right)=-4x+90
    Ici la dérivée est une fonction du 11er degré.
    Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge 0.
    En effet, en résolvant f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge 0, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
    Il vient alors que :
    f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge 0 équivaut successivement à
    −4x+90≥0-4x+90\ge 0
    −4x≥−90-4x\ge -90
    x≤−90−4x\le \frac{-90}{-4} . Attention : on change le sens de l’ineˊquation car on divise par un neˊgatif.{\color{red}\text{Attention : on change le sens de l'inéquation car on divise par un négatif.}}
    x≤22,5x\le 22{,}5
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de −4x+90-4x+90 lorsque xx sera inférieur ou égal à 22,522{,}5.
    Il en résulte donc que :
    • si x∈[15;22,5]x\in\left[15;22{,}5\right] alors f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge0 et donc ff est croissante sur cet intervalle.
    • si x∈[22,5;30]x\in\left[22{,}5;30\right] alors f′(x)≤0f'\left(x\right)\le0 et donc ff est décroissante sur cet intervalle.
    Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
    Question 3

    Calculer son maximum.

    Correction
    Nous allons compléter le tableau de variation en indiquant toutes les valeurs :
  • f(15)=−2×152+90×15−400f\left(15\right)=-2\times15^{2}+90\times15-400 ainsi f(15)=500f\left(15\right)=500
  • f(22,5)=−2×22,52+90×22,5−400f\left(22{,}5\right)=-2\times22{,}5^{2}+90\times22{,}5-400 ainsi f(22,5)=612,5f\left(22{,}5\right)=612{,}5
  • f(30)=−2×302+90×30−400f\left(30\right)=-2\times30^{2}+90\times30-400 ainsi f(30)=500f\left(30\right)=500
    • Le maximum est atteint en x=22,5x=22{,}5 et il vaut 612,5612{,}5.
    Question 4
    On rappelle que xx représente le nombre de centaines de panneaux solaires produits.

    Pour quelle production le bénéfice est-il maximal ? Quelle est alors sa valeur ?

    Correction
    Le bénéfice est maximal pour x=22,5x=22{,}5, c'est-à-dire pour une production de 22,5×100=2 25022{,}5\times100=2\,250 panneaux solaires.
    Le maximum de ff vaut 612,5612{,}5 et le bénéfice est exprimé en centaines d’euros : le bénéfice maximal est donc de 612,5×100=61 250612{,}5\times100=61\,250 euros.

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