Devoir n°1 : dérivation (enseignement de spécialité) - Exercice 1

20 min

Exercice 1 (

6

points)
Dans chaque cas, la fonction est définie et dérivable sur l'intervalle indiqué. Calculer sa dérivée.

Barème :

1

point par fonction, sauf

1{,}5

point pour

h

et pour

k

Question 1

$f\left(x\right)=\left(3x-5\right)^{4}$ sur $\mathbb{R}$

Correction

\text{\purple{Dérivée d’une fonction de la forme f(ax + b)}}

Si $f$ est dérivable, la fonction $g:x\mapsto f\left(ax+b\right)$ est dérivable et $\color{red}\boxed{g'\left(x\right)=a\times f'\left(ax+b\right)}$ .
En particulier : $\left(\left(ax+b\right)^{n}\right)'=n\,a\left(ax+b\right)^{n-1}$ et $\left(\dfrac{1}{ax+b}\right)'=\dfrac{-a}{\left(ax+b\right)^{2}}$ .
De même, $t\mapsto A\cos\left(\omega t+\varphi\right)$ a pour dérivée $t\mapsto -A\omega\sin\left(\omega t+\varphi\right)$ et $t\mapsto A\sin\left(\omega t+\varphi\right)$ a pour dérivée $t\mapsto A\omega\cos\left(\omega t+\varphi\right)$ .

f'\left(x\right)=4\times3\left(3x-5\right)^{3}=12\left(3x-5\right)^{3}

Question 2

Correction

\text{\purple{Dérivée du produit}}

On considère deux fonctions $u$ et $v$ , dérivables sur un intervalle $I$ ; alors $\left(uv\right)'=u'v+uv'$ .

Avec

u\left(x\right)=x^{2}+1

v\left(x\right)=2x-3

u'\left(x\right)=2x

v'\left(x\right)=2

g'\left(x\right)=2x\left(2x-3\right)+\left(x^{2}+1\right)\times2=4x^{2}-6x+2x^{2}+2=6x^{2}-6x+2

Question 3

Correction

\text{\purple{Dérivée du quotient}}

On considère deux fonctions $u$ et $v$ , dérivables sur un intervalle $I$ , $v$ ne s'annulant pas sur $I$ ; alors $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ .

Avec

u\left(x\right)=x+2

v\left(x\right)=2x-1

u'\left(x\right)=1

v'\left(x\right)=2

h'\left(x\right)=\dfrac{1\times\left(2x-1\right)-\left(x+2\right)\times2}{\left(2x-1\right)^{2}}=\dfrac{2x-1-2x-4}{\left(2x-1\right)^{2}}=\dfrac{-5}{\left(2x-1\right)^{2}}

Question 4

Correction

Avec

A=5

\omega=2

\left(A\sin\left(\omega t+\varphi\right)\right)'=A\omega\cos\left(\omega t+\varphi\right)

k'\left(t\right)=5\times2\cos\left(2t-\dfrac{\pi}{4}\right)=10\cos\left(2t-\dfrac{\pi}{4}\right)

Question 5

Correction

On applique

\left(\dfrac{1}{ax+b}\right)'=\dfrac{-a}{\left(ax+b\right)^{2}}

avec

a=-3

b=1

m'\left(x\right)=\dfrac{-\left(-3\right)}{\left(1-3x\right)^{2}}=\dfrac{3}{\left(1-3x\right)^{2}}

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