Dériver une fonction de la forme $x\mapsto f\left(ax+b\right)$ - Exercice 1

10 min

Dans chaque cas, calculer

g'\left(x\right)

. Le tableau rappelle les dérivées utiles.

Question 1

$g\left(x\right)=\left(2x+1\right)^{3}$

Correction

\text{\purple{Dérivée d’une fonction de la forme f(ax + b)}}

Si $f$ est dérivable, la fonction $g:x\mapsto f\left(ax+b\right)$ est dérivable et $\color{red}\boxed{g'\left(x\right)=a\times f'\left(ax+b\right)}$ .
En particulier : $\left(\left(ax+b\right)^{n}\right)'=n\,a\left(ax+b\right)^{n-1}$ et $\left(\dfrac{1}{ax+b}\right)'=\dfrac{-a}{\left(ax+b\right)^{2}}$ .
De même, $t\mapsto A\cos\left(\omega t+\varphi\right)$ a pour dérivée $t\mapsto -A\omega\sin\left(\omega t+\varphi\right)$ et $t\mapsto A\sin\left(\omega t+\varphi\right)$ a pour dérivée $t\mapsto A\omega\cos\left(\omega t+\varphi\right)$ .

Ici

g\left(x\right)=f\left(2x+1\right)

avec

f\left(X\right)=X^{3}

, donc

f'\left(X\right)=3X^{2}

, et

a=2

g'\left(x\right)=2\times3\left(2x+1\right)^{2}=6\left(2x+1\right)^{2}

Question 2

Correction

On applique

\left(\left(ax+b\right)^{n}\right)'=n\,a\left(ax+b\right)^{n-1}

avec

a=-3

b=5

n=4

g'\left(x\right)=4\times\left(-3\right)\left(5-3x\right)^{3}=-12\left(5-3x\right)^{3}

Question 3

Correction

Ici

a=\dfrac{1}{2}

b=-1

n=2

g'\left(x\right)=2\times\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{2}-1\right)=\dfrac{x}{2}-1

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