Dérivée et physique-chimie : vitesse, accélération, puissance, vitesse de réaction - Exercice 1

10 min

Un mobile se déplace sur un axe. Sa position, en mètres, à l'instant

t

(en secondes,

t\in\left[0;5\right]

) est

x\left(t\right)=-t^{3}+6t^{2}+2

Question 1

Calculer sa vitesse $v\left(t\right)=\dfrac{dx}{dt}$ , puis $v\left(1\right)$ .

Correction

\text{\purple{Dérivée par rapport au temps}}

La ${\color{blue}{\text{vitesse}}}$ est la dérivée de la position : $v\left(t\right)=\dfrac{dx}{dt}=x'\left(t\right)$ ; l' ${\color{blue}{\text{accélération}}}$ est la dérivée de la vitesse : $a\left(t\right)=\dfrac{dv}{dt}=v'\left(t\right)$ .
Pour un mouvement dans un plan, les coordonnées du ${\color{blue}{\text{vecteur vitesse}}}$ sont $\left(x'\left(t\right);y'\left(t\right)\right)$ .
La ${\color{blue}{\text{puissance}}}$ est la dérivée de l'énergie par rapport au temps : $P\left(t\right)=\dfrac{dE}{dt}$ .
La ${\color{blue}{\text{vitesse d'apparition}}}$ d'un produit $P$ est $\dfrac{d\left[P\right]}{dt}$ ; celle de disparition d'un réactif $R$ est $-\dfrac{d\left[R\right]}{dt}$ .

v\left(t\right)=x'\left(t\right)=-3t^{2}+6\times2t=-3t^{2}+12t

v\left(1\right)=-3+12=9

: à l'instant

t=1

s, le mobile avance à

9

m/s. C'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de

x

au point d'abscisse

1

Question 2

Calculer son accélération $a\left(t\right)=\dfrac{dv}{dt}$ , puis $a\left(1\right)$ .

Correction

a\left(t\right)=v'\left(t\right)=-6t+12

a\left(1\right)=-6+12=6

: à l'instant

t=1

s, l'accélération est de

6\ \text{m/s}^{2}

Question 3

Étudier le signe de $a\left(t\right)$ sur $\left[0;5\right]$ . En déduire les variations de la vitesse et la valeur maximale de $v\left(t\right)$ .

Correction

\text{\purple{Dérivée et sens de variation}}

Si $f'$ est positive sur un intervalle $I$ , alors $f$ est croissante sur $I$ .
Si $f'$ est négative sur un intervalle $I$ , alors $f$ est décroissante sur $I$ .
Pour étudier le signe d'un quotient, on étudie le signe du numérateur et celui du dénominateur.

-6t+12\geqslant 0

équivaut à

t\leqslant 2

: l'accélération est positive sur

\left[0;2\right]

et négative sur

\left[2;5\right]

. La vitesse croît donc jusqu'à

t=2

, puis décroît.

v\left(0\right)=0

v\left(2\right)=-12+24=12

v\left(5\right)=-75+60=-15

La valeur maximale de

v\left(t\right)

est

12

m/s, atteinte à l'instant

t=2

Question 4

À quel instant le mobile s'arrête-t-il pour repartir en sens inverse ? Quelle est alors sa position ?

Correction

v\left(t\right)=-3t^{2}+12t=-3t\left(t-4\right)

s'annule pour

t=0

t=4

. Sur

\left]0;4\right[

v\left(t\right)\gt 0

: le mobile avance ; sur

\left]4;5\right]

v\left(t\right)\lt 0

: il recule.
Il s'arrête donc à l'instant

t=4

s, à la position

x\left(4\right)=-64+96+2=34

m, puis repart en sens inverse :

x\left(5\right)=-125+150+2=27

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Dérivée et physique-chimie : vitesse, accélération, puissance, vitesse de réaction - Exercice 1

Calculer sa vitesse v(t)=dxdtv\left(t\right)=\dfrac{dx}{dt}v(t)=dtdx​, puis v(1)v\left(1\right)v(1).

Calculer son accélération a(t)=dvdta\left(t\right)=\dfrac{dv}{dt}a(t)=dtdv​, puis a(1)a\left(1\right)a(1).

Étudier le signe de a(t)a\left(t\right)a(t) sur [0;5]\left[0;5\right][0;5]. En déduire les variations de la vitesse et la valeur maximale de v(t)v\left(t\right)v(t).

À quel instant le mobile s'arrête-t-il pour repartir en sens inverse ? Quelle est alors sa position ?

Calculer sa vitesse $v\left(t\right)=\dfrac{dx}{dt}$ , puis $v\left(1\right)$ .

Calculer son accélération $a\left(t\right)=\dfrac{dv}{dt}$ , puis $a\left(1\right)$ .

Étudier le signe de $a\left(t\right)$ sur $\left[0;5\right]$ . En déduire les variations de la vitesse et la valeur maximale de $v\left(t\right)$ .