Comprendre la formule de la dérivée d'un produit - Exercice 1

10 min
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Question 1

À l'aide de la figure, montrer que Δp=p(x+h)−p(x)=u(x) Δv+v(x) Δu+Δu Δv\Delta p=p\left(x+h\right)-p\left(x\right)=u\left(x\right)\,\Delta v+v\left(x\right)\,\Delta u+\Delta u\,\Delta v.

Correction
Le grand rectangle a pour côtés u(x+h)=u(x)+Δuu\left(x+h\right)=u\left(x\right)+\Delta u et v(x+h)=v(x)+Δvv\left(x+h\right)=v\left(x\right)+\Delta v : son aire est p(x+h)p\left(x+h\right).
Il se découpe en quatre rectangles : le rectangle de départ, d'aire u(x) v(x)u\left(x\right)\,v\left(x\right) (en bleu), un rectangle d'aire u(x) Δvu\left(x\right)\,\Delta v (en vert), un rectangle d'aire v(x) Δuv\left(x\right)\,\Delta u (en orange) et un petit rectangle d'aire Δu Δv\Delta u\,\Delta v (en rouge). En retirant le rectangle de départ :
Δp=u(x) Δv+v(x) Δu+Δu Δv\Delta p=u\left(x\right)\,\Delta v+v\left(x\right)\,\Delta u+\Delta u\,\Delta v

Par le calcul : p(x+h)=(u(x)+Δu)(v(x)+Δv)=u(x) v(x)+u(x) Δv+v(x) Δu+Δu Δvp\left(x+h\right)=\left(u\left(x\right)+\Delta u\right)\left(v\left(x\right)+\Delta v\right)=u\left(x\right)\,v\left(x\right)+u\left(x\right)\,\Delta v+v\left(x\right)\,\Delta u+\Delta u\,\Delta v.
Question 2

En déduire que Δph=u(x)×Δvh+v(x)×Δuh+Δu×Δvh\dfrac{\Delta p}{h}=u\left(x\right)\times\dfrac{\Delta v}{h}+v\left(x\right)\times\dfrac{\Delta u}{h}+\Delta u\times\dfrac{\Delta v}{h}.

Correction
On divise chaque terme de l'égalité précédente par hh (qui n'est pas nul) :
Δph=u(x)×Δvh+v(x)×Δuh+Δu×Δvh\dfrac{\Delta p}{h}=u\left(x\right)\times\dfrac{\Delta v}{h}+v\left(x\right)\times\dfrac{\Delta u}{h}+\Delta u\times\dfrac{\Delta v}{h}
Question 3

Quand hh tend vers 00, Δuh\dfrac{\Delta u}{h} tend vers u′(x)u'\left(x\right), Δvh\dfrac{\Delta v}{h} tend vers v′(x)v'\left(x\right) et Δu\Delta u tend vers 00. En déduire p′(x)p'\left(x\right).

Correction
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Question 4

Vérifier la formule avec u(x)=v(x)=xu\left(x\right)=v\left(x\right)=x, puis expliquer pourquoi la dérivée de uvuv n'est pas u′v′u'v'.

Correction
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