Approximation affine d'une fonction au voisinage d'un point - Exercice 1

10 min
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Soit ff la fonction cube, définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x3f\left(x\right)=x^{3}.
Question 1

Calculer f(1)f\left(1\right) et f′(1)f'\left(1\right), puis donner l'approximation affine de f(1+h)f\left(1+h\right) pour hh proche de 00.

Correction
    Approximation affine\text{\purple{Approximation affine}}
  • Si ff est dérivable en x0x_{0}, alors pour hh proche de 00 : f(x0+h)≈f(x0)+f′(x0) hf\left(x_{0}+h\right)\approx f\left(x_{0}\right)+f'\left(x_{0}\right)\,h.
  • Graphiquement, près du point d'abscisse x0x_{0}, la courbe de ff se confond presque avec sa tangente.
  • Avec les notations de la physique : Δy≈f′(x0) Δx\Delta y\approx f'\left(x_{0}\right)\,\Delta x.
f(1)=13=1f\left(1\right)=1^{3}=1 et f′(x)=3x2f'\left(x\right)=3x^{2}, donc f′(1)=3×12=3f'\left(1\right)=3\times1^{2}=3. Pour hh proche de 00 :
f(1+h)≈1+3hf\left(1+h\right)\approx 1+3h

La tangente à la courbe au point d'abscisse 11 a pour équation y=3(x−1)+1y=3\left(x-1\right)+1, soit y=3x−2y=3x-2 : près de ce point, la courbe et sa tangente se confondent presque.
Question 2

En déduire une valeur approchée de 1,0231{,}02^{3} et de 0,9930{,}99^{3}, puis comparer avec les valeurs exactes données par la calculatrice.

Correction
1,023=f(1+0,02)≈1+3×0,02=1,061{,}02^{3}=f\left(1+0{,}02\right)\approx 1+3\times0{,}02=1{,}06 ; la calculatrice donne 1,023=1,061 2081{,}02^{3}=1{,}061\,208.
0,993=f(1−0,01)≈1+3×(−0,01)=0,970{,}99^{3}=f\left(1-0{,}01\right)\approx 1+3\times\left(-0{,}01\right)=0{,}97 ; la calculatrice donne 0,993=0,970 2990{,}99^{3}=0{,}970\,299.
Les approximations sont justes à environ 0,0010{,}001 près.
Question 3

Pourquoi l'approximation de 0,9930{,}99^{3} est-elle meilleure que celle de 1,0231{,}02^{3} ?

Correction
Plus hh est proche de 00, plus l'approximation affine est précise ; ici h=−0,01h=-0{,}01 est plus proche de 00 que h=0,02h=0{,}02.
On peut le vérifier : (1+h)3−(1+3h)=3h2+h3\left(1+h\right)^{3}-\left(1+3h\right)=3h^{2}+h^{3}, donc l'écart vaut 3×0,022+0,023=0,001 2083\times0{,}02^{2}+0{,}02^{3}=0{,}001\,208 pour h=0,02h=0{,}02 et 3×0,012−0,013=0,000 2993\times0{,}01^{2}-0{,}01^{3}=0{,}000\,299 pour h=−0,01h=-0{,}01, environ quatre fois moins.

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