Représenter graphiquement une fonction du second degré à partir de sa forme factorisée - Exercice 3

Pour déterminer l’intersection de la courbe de $$f$$ avec l’axe des abscisses, il suffit de résoudre l’équation $$f\left(x\right)=0$$ .
Ainsi :
$$-\frac{1}{2}\left(x+5\right)\left(x-3\right)=0$$ . Il s'agit ici d'une équation produit nul.
Il faut donc résoudre : $$x+5=0$$ $$\text{\red{ou}}$$ $$x-3=0$$
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$x+5=0$$
$$x=-5$$
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$x-3=0$$
$$x=3$$
Les points cherchés ont pour coordonnées $$\left(-5;0\right)$$ et $$\left(3;0\right)$$

Nous avons $$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}\left(x+5\right)\left(x-3\right)$$ . D'après le rappel, nous pouvons identifier que $$x_1=-5$$ et $$x_2=3$$ .
L'axe de symétrie admet comme équation $$x=\frac{x_1+x_2}{2}$$, il vient alors :
$$x=\frac{-5+3}{2}$$
$$x=-\frac{2}{2}$$

L'équation de cet axe de symétrie est : $$x=-1$$ .

Déterminer les coordonnées du sommet $$S$$ de $$\mathscr{C}$$ ou encore déterminer les coordonnées de son extremum. Il s'agit de deux manières différentes de poser la question.
Le sommet $$S$$ de la parabole $$\mathscr{C}$$ appartient à l'axe de symétrie donc son abscisse vaut $$-1$$ et son ordonnée vaut : $$f\left(-1\right)=-\frac{1}{2}\times\left(-1+5\right)\times\left(-1-3\right)$$
$$f\left(-1\right)=-\frac{1}{2}\times4\times\left(-4\right)$$

Le sommet de la parabole $$S$$ est donc le point de coordonnées $$\left(-1;8\right)$$

D'après la question $$3$$, nous savons que le sommet de la parabole $$S$$ est donc le point de coordonnées $$\left(-1;8\right)$$

La fonction $$f$$ est alors croissante sur l'intervalle $$\left]-\infty;-1\right]$$

La fonction $$f$$ est alors décroissante sur l'intervalle $$\left[-1;+\infty\right[$$

On en déduit le tableau de variation ci-dessous :

D'après la représentation graphique faite à la question $$4$$, nous pouvons lire que :

Si $$x\in \left]-\infty;-5\right]$$ alors $$f$$ est en-dessous ou égale de l'axe des abscisses donc $$f\left(x\right)$$ est négative.

Si $$x\in \left[-5;3\right]$$ alors $$f$$ est en-dessus ou égale de l'axe des abscisses donc $$f\left(x\right)$$ est positive.

Si $$x\in \left[3;+\infty\right]$$ alors $$f$$ est en-dessous ou égale de l'axe des abscisses donc $$f\left(x\right)$$ est négative.

Nous pouvons maintenant dresser le tableau de signe de la fonction $$f$$.