Représenter graphiquement une fonction du second degré à partir de sa forme factorisée - Exercice 2

Pour déterminer l’intersection de la courbe de $$f$$ avec l’axe des abscisses, il suffit de résoudre l’équation $$f\left(x\right)=0$$ .
Ainsi :
$$-2\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0$$ . Il s'agit ici d'une équation produit nul.
Il faut donc résoudre : $$x-2=0$$ $$\text{\red{ou}}$$ $$x+1=0$$
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$x-2=0$$
$$x=2$$
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$x+1=0$$
$$x=-1$$
Les points cherchés ont pour coordonnées $$\left(2;0\right)$$ et $$\left(-1;0\right)$$

Nous avons $$f\left(x\right)=-2\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$ . D'après le rappel, nous pouvons identifier que $$x_1=2$$ et $$x_2=-1$$ .
L'axe de symétrie admet comme équation $$x=\frac{x_1+x_2}{2}$$, il vient alors :
$$x=\frac{2+\left(-1\right)}{2}$$
$$x=\frac{1}{2}$$

L'équation de cet axe de symétrie est : $$x=\frac{1}{2}$$ .

Déterminer les coordonnées du sommet $$S$$ de $$\mathscr{C}$$ ou encore déterminer les coordonnées de son extremum. Il s'agit de deux manières différentes de poser la question.
Le sommet $$S$$ de la parabole $$\mathscr{C}$$ appartient à l'axe de symétrie donc son abscisse vaut $$\frac{1}{2}$$ et son ordonnée vaut $$f\left(\frac{1}{2}\right)=-2\times\left(\frac{1}{2}-2\right)\times\left(\frac{1}{2}+1\right)$$
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=-2\times\left(-\frac{3}{2}\right)\times\frac{3}{2}$$

Le sommet de la parabole $$S$$ est donc le point de coordonnées $$\left(\frac{1}{2}\;;\;\frac{9}{2}\right)$$

D'après la question $$3$$, nous savons que le sommet de la parabole $$S$$ est donc le point de coordonnées $$\left(\frac{1}{2}\;;\;\frac{9}{2}\right)$$

La fonction $$f$$ est alors croissante sur l'intervalle $$\left]-\infty;\frac{1}{2}\right]$$

La fonction $$f$$ est alors décroissante sur l'intervalle $$\left[\frac{1}{2};+\infty\right[$$

On en déduit le tableau de variation ci-dessous :

D'après la représentation graphique faite à la question $$4$$, nous pouvons lire que :

Si $$x\in \left]-\infty;-1\right]$$ alors $$f$$ est en-dessous ou égale de l'axe des abscisses donc $$f\left(x\right)$$ est négative.

Si $$x\in \left[-1;2\right]$$ alors $$f$$ est en-dessus ou égale de l'axe des abscisses donc $$f\left(x\right)$$ est positive.

Si $$x\in \left[2;+\infty\right]$$ alors $$f$$ est en-dessous ou égale de l'axe des abscisses donc $$f\left(x\right)$$ est négative.

Nous pouvons maintenant dresser le tableau de signe de la fonction $$f$$.