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Etudier du signe d'un produit de la forme a(x−x1)(x−x2)a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right) - Exercice 2

20 min
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Etablir le tableau de signe de chacune des fonctions produits suivantes :
Question 1

f(x)=2(x+2)(x−7)f\left(x\right)=2\left(x+2\right)\left(x-7\right) sur R\mathbb{R}

Correction
Pour étudier le signe d'un produit :
  • On étudie le signe de chaque facteur.
  • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
  • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • x+2=0⇔x=−2x+2=0\Leftrightarrow x=-2
    Soit x↦x+2x\mapsto x+2 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+2x+2 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−2x=-2 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • x−7=0⇔x=7x-7=0\Leftrightarrow x=7
    Soit x↦x−7x\mapsto x-7 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−7x-7 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=7x=7 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 22 est strictement positif. On mettra que le signe (+)\left(+\right) dans la ligne de 22.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 2

    f(x)=−7(x−5)(x−10)f\left(x\right)=-7\left(x-5\right)\left(x-10\right) sur R\mathbb{R}

    Correction
    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • x−5=0⇔x=5x-5=0\Leftrightarrow x=5
    Soit x↦x−5x\mapsto x-5 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−5x-5 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=5x=5 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • x−10=0⇔x=10x-10=0\Leftrightarrow x=10
    Soit x↦x−10x\mapsto x-10 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−10x-10 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=10x=10 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} −7-7 est strictement négatif. On mettra que le signe (−)\left(-\right) dans la ligne de −7-7.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 3

    f(x)=11(x−4)(x+6)f\left(x\right)=11\left(x-4\right)\left(x+6\right) sur R\mathbb{R}

    Correction
    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • x−4=0⇔x=4x-4=0\Leftrightarrow x=4
    Soit x↦x−4x\mapsto x-4 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−4x-4 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=4x=4 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • x+6=0⇔x=−6x+6=0\Leftrightarrow x=-6
    Soit x↦x+6x\mapsto x+6 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+6x+6 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−6x=-6 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 1111 est strictement positif. On mettra que le signe (+)\left(+\right) dans la ligne de 1111.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 4

    f(x)=−8(x+9)(x−15)f\left(x\right)=-8\left(x+9\right)\left(x-15\right) sur R\mathbb{R}

    Correction
    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • x+9=0⇔x=−9x+9=0\Leftrightarrow x=-9
    Soit x↦x+9x\mapsto x+9 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+9x+9 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−9x=-9 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • x−15=0⇔x=15x-15=0\Leftrightarrow x=15
    Soit x↦x−15x\mapsto x-15 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−15x-15 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=15x=15 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} −8-8 est strictement négatif. On mettra que le signe (−)\left(-\right) dans la ligne de −8-8.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :