Déterminer le sommet d'une fonction du second degré à partir de sa forme factorisée - Exercice 4

Pour déterminer l’intersection de la courbe de $$f$$ avec l’axe des abscisses, il suffit de résoudre l’équation $$f\left(x\right)=0$$ .
Ainsi :
$$\frac{3}{2}\left(x-1\right)\left(x-6\right)=0$$ . Il s'agit ici d'une équation produit nul.
Il faut donc résoudre : $$x-1=0$$ $$\text{\red{ou}}$$ $$x-6=0$$
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$x-1=0$$
$$x=1$$
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$x-6=0$$
$$x=6$$
Les points cherchés ont pour coordonnées $$\left(1;0\right)$$ et $$\left(6;0\right)$$

Nous avons $$f\left(x\right)=\frac{3}{2}\left(x-1\right)\left(x-6\right)$$ . D'après le rappel, nous pouvons identifier que $$x_1=1$$ et $$x_2=6$$ .
L'axe de symétrie admet comme équation $$x=\frac{x_1+x_2}{2}$$, il vient alors :
$$x=\frac{1+6}{2}$$
$$x=\frac{7}{2}$$

Déterminer les coordonnées du sommet $$S$$ de $$\mathscr{C}$$ ou encore déterminer les coordonnées de son extremum. Il s'agit de deux manières différentes de poser la question.
Le sommet $$S$$ de la parabole $$\mathscr{C}$$ appartient à l'axe de symétrie donc son abscisse vaut $$\frac{7}{2}$$ et son ordonnée vaut $$f\left(\frac{7}{2}\right)=\frac{3}{2}\times\left(\frac{7}{2}-1\right)\times\left(\frac{7}{2}-6\right)$$
$$f\left(\frac{7}{2}\right)=\frac{3}{2}\times\frac{5}{2}\times\left(-\frac{5}{2}\right)$$

Le sommet de la parabole $$S$$ est donc le point de coordonnées $$\left(\frac{7}{2};-\frac{75}{8}\right)$$