Déterminer le sommet d'une fonction du second degré à partir de sa forme factorisée - Exercice 3

Pour déterminer l’intersection de la courbe de $$f$$ avec l’axe des abscisses, il suffit de résoudre l’équation $$f\left(x\right)=0$$ .
Ainsi :
$$-4\left(x-5\right)\left(x-7\right)=0$$ . Il s'agit ici d'une équation produit nul.
Il faut donc résoudre : $$x-5=0$$ $$\text{\red{ou}}$$ $$x-7=0$$
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$x-5=0$$
$$x=5$$
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$x-7=0$$
$$x=7$$
Les points cherchés ont pour coordonnées $$\left(5;0\right)$$ et $$\left(7;0\right)$$

Nous avons $$f\left(x\right)=-4\left(x-5\right)\left(x-7\right)$$ . D'après le rappel, nous pouvons identifier que $$x_1=5$$ et $$x_2=7$$ .
L'axe de symétrie admet comme équation $$x=\frac{x_1+x_2}{2}$$, il vient alors :
$$x=\frac{5+7}{2}$$
$$x=\frac{12}{2}$$

Déterminer les coordonnées du sommet $$S$$ de $$\mathscr{C}$$ ou encore déterminer les coordonnées de son extremum. Il s'agit de deux manières différentes de poser la question.
Le sommet $$S$$ de la parabole $$\mathscr{C}$$ appartient à l'axe de symétrie donc son abscisse vaut $$6$$ et son ordonnée vaut $$f\left(6\right)=-4\times\left(6-5\right)\times\left(6-7\right)$$
$$f\left(6\right)=-4\times1\times\left(-1\right)$$

Le sommet de la parabole $$S$$ est donc le point de coordonnées $$\left(6;4\right)$$