Déterminer le sommet d'une fonction du second degré à partir de sa forme factorisée - Exercice 2

Pour déterminer l’intersection de la courbe de $$f$$ avec l’axe des abscisses, il suffit de résoudre l’équation $$f\left(x\right)=0$$ .
Ainsi :
$$-2\left(x+3\right)\left(x+5\right)=0$$ . Il s'agit ici d'une équation produit nul.
Il faut donc résoudre : $$x+3=0$$ $$\text{\red{ou}}$$ $$x+5=0$$
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$x+3=0$$
$$x=-3$$
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$x+5=0$$
$$x=-5$$
Les points cherchés ont pour coordonnées $$\left(-3;0\right)$$ et $$\left(-5;0\right)$$

Nous avons $$f\left(x\right)=-2\left(x+3\right)\left(x+5\right)$$ . D'après le rappel, nous pouvons identifier que $$x_1=-3$$ et $$x_2=-5$$ .
L'axe de symétrie admet comme équation $$x=\frac{x_1+x_2}{2}$$, il vient alors :
$$x=\frac{-3+(-5)}{2}$$
$$x=\frac{-8}{2}$$

Déterminer les coordonnées du sommet $$S$$ de $$\mathscr{C}$$ ou encore déterminer les coordonnées de son extremum. Il s'agit de deux manières différentes de poser la question.
Le sommet $$S$$ de la parabole $$\mathscr{C}$$ appartient à l'axe de symétrie donc son abscisse vaut $$-4$$ et son ordonnée vaut $$f\left(-4\right)=2\times\left(-4+3\right)\times\left(-4+5\right)$$
$$f\left(-4\right)=2\times\left(-1\right)\times1$$

Le sommet de la parabole $$S$$ est donc le point de coordonnées $$\left(-4;-2\right)$$