Fonctions polynômes de degré 2

Etudier du signe d'un produit de la forme a(xx1)(xx2)a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right) - Exercice 1

20 min
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Question 1
Etablir le tableau de signe de chacune des fonctions produits suivantes :

f(x)=2(x+4)(x5)f\left(x\right)=2\left(x+4\right)\left(x-5\right) sur R\mathbb{R}

Correction

Pour étudier le signe d'un produit :
  • On étudie le signe de chaque facteur.
  • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
  • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • x+4=0x=4x+4=0\Leftrightarrow x=-4
    Soit xx+4x\mapsto x+4 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+4x+4 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=4x=-4 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • x5=0x=5x-5=0\Leftrightarrow x=5
    Soit xx5x\mapsto x-5 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x5x-5 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=5x=5 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 22 est strictement positif. On mettra que le signe (+)\left(+\right) dans la ligne de 22.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 2

    f(x)=5(x2)(x9)f\left(x\right)=-5\left(x-2\right)\left(x-9\right) sur R\mathbb{R}

    Correction

    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • x2=0x=2x-2=0\Leftrightarrow x=2
    Soit xx2x\mapsto x-2 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x2x-2 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=2x=2 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • x9=0x=9x-9=0\Leftrightarrow x=9
    Soit xx9x\mapsto x-9 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x9x-9 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=9x=9 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 5-5 est strictement négatif. On mettra que le signe ()\left(-\right) dans la ligne de 5-5.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 3

    f(x)=3(x6)(x+8)f\left(x\right)=3\left(x-6\right)\left(x+8\right) sur R\mathbb{R}

    Correction

    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • x6=0x=6x-6=0\Leftrightarrow x=6
    Soit xx6x\mapsto x-6 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x6x-6 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=6x=6 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • x+8=0x=8x+8=0\Leftrightarrow x=-8
    Soit xx+8x\mapsto x+8 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+8x+8 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=8x=-8 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 33 est strictement positif. On mettra que le signe (+)\left(+\right) dans la ligne de 33.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 4

    f(x)=6(x+7)(x1)f\left(x\right)=-6\left(x+7\right)\left(x-1\right) sur R\mathbb{R}

    Correction

    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • x+7=0x=7x+7=0\Leftrightarrow x=-7
    Soit xx+7x\mapsto x+7 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+7x+7 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=7x=-7 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • x1=0x=1x-1=0\Leftrightarrow x=1
    Soit xx1x\mapsto x-1 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x1x-1 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=1x=1 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 6-6 est strictement négatif. On mettra que le signe ()\left(-\right) dans la ligne de 6-6.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :