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Déterminer le sens de variation d'une fonction du second degré de la forme $x\mapsto ax^{2}+b$ - Exercice 1

6 min

Question 1

Donner le sens de variation de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right)=3x^{2}-1$ .

Correction

La représentation graphique de la fonction $x\mapsto ax^{2}+{\color{blue}{b}}$ où $a$ et ${\color{blue}{b}}$ sont des constantes réelles avec $a\ne 0$ est une parabole ayant la droite $x=0$ comme axe de symétrie.

Si $a<0$ la parabole est tournée vers le bas. Autrement dit, $f$ est croissante puis décroissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées $\left(0;{\color{blue}{b}}\right)$ .
Si $a>0$ la parabole est tournée vers le haut. Autrement dit, $f$ est décroissante puis croissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées $\left(0;{\color{blue}{b}}\right)$ .

Soit

f\left(x\right)=3x^{2}-1

. Nous avons

a=3>0

{\color{blue}{b=-1}}

.
La parabole est tournée vers le haut. Autrement dit,

f

est décroissante puis croissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées

\left(0;{\color{blue}{-1}}\right)

.
Nous dressons le tableau de variation de

f

ci-dessous :

Question 2

Donner le sens de variation de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right)=5x^{2}+3$ .

Correction

La représentation graphique de la fonction $x\mapsto ax^{2}+{\color{blue}{b}}$ où $a$ et ${\color{blue}{b}}$ sont des constantes réelles avec $a\ne 0$ est une parabole ayant la droite $x=0$ comme axe de symétrie.

Si $a<0$ la parabole est tournée vers le bas. Autrement dit, $f$ est croissante puis décroissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées $\left(0;{\color{blue}{b}}\right)$ .
Si $a>0$ la parabole est tournée vers le haut. Autrement dit, $f$ est décroissante puis croissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées $\left(0;{\color{blue}{b}}\right)$ .

Soit

f\left(x\right)=5x^{2}+3

. Nous avons

a=5>0

{\color{blue}{b=3}}

.
La parabole est tournée vers le haut. Autrement dit,

f

est décroissante puis croissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées

\left(0;{\color{blue}{3}}\right)

.
Nous dressons le tableau de variation de

f

ci-dessous :

Question 3

Donner le sens de variation de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right)=-2x^{2}-6$ .

Correction

La représentation graphique de la fonction $x\mapsto ax^{2}+{\color{blue}{b}}$ où $a$ et ${\color{blue}{b}}$ sont des constantes réelles avec $a\ne 0$ est une parabole ayant la droite $x=0$ comme axe de symétrie.

Si $a<0$ la parabole est tournée vers le bas. Autrement dit, $f$ est croissante puis décroissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées $\left(0;{\color{blue}{b}}\right)$ .
Si $a>0$ la parabole est tournée vers le haut. Autrement dit, $f$ est décroissante puis croissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées $\left(0;{\color{blue}{b}}\right)$ .

Soit

f\left(x\right)=-2x^{2}-6

. Nous avons

a=-2<0

{\color{blue}{b=-6}}

.
La parabole est tournée vers le bas. Autrement dit,

f

est croissante puis décroissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées

\left(0;{\color{blue}{-6}}\right)

.
Nous dressons le tableau de variation de

f

ci-dessous :

Question 4

Donner le sens de variation de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right)=-7x^{2}+1$ .

Correction

La représentation graphique de la fonction $x\mapsto ax^{2}+{\color{blue}{b}}$ où $a$ et ${\color{blue}{b}}$ sont des constantes réelles avec $a\ne 0$ est une parabole ayant la droite $x=0$ comme axe de symétrie.

Si $a<0$ la parabole est tournée vers le bas. Autrement dit, $f$ est croissante puis décroissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées $\left(0;{\color{blue}{b}}\right)$ .
Si $a>0$ la parabole est tournée vers le haut. Autrement dit, $f$ est décroissante puis croissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées $\left(0;{\color{blue}{b}}\right)$ .

Soit

f\left(x\right)=-7x^{2}+1

. Nous avons

a=-7<0

{\color{blue}{b=1}}

.
La parabole est tournée vers le bas. Autrement dit,

f

est croissante puis décroissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées

\left(0;{\color{blue}{1}}\right)

.
Nous dressons le tableau de variation de

f

ci-dessous :

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Déterminer le sens de variation d'une fonction du second degré de la forme x↦ax2+bx\mapsto ax^{2}+bx↦ax2+b - Exercice 1

Donner le sens de variation de la fonction définie sur R\mathbb{R}R par f(x)=3x2−1f\left(x\right)=3x^{2}-1f(x)=3x2−1 .

Donner le sens de variation de la fonction définie sur R\mathbb{R}R par f(x)=5x2+3f\left(x\right)=5x^{2}+3f(x)=5x2+3 .

Donner le sens de variation de la fonction définie sur R\mathbb{R}R par f(x)=−2x2−6f\left(x\right)=-2x^{2}-6f(x)=−2x2−6 .

Donner le sens de variation de la fonction définie sur R\mathbb{R}R par f(x)=−7x2+1f\left(x\right)=-7x^{2}+1f(x)=−7x2+1 .

Déterminer le sens de variation d'une fonction du second degré de la forme $x\mapsto ax^{2}+b$ - Exercice 1

Donner le sens de variation de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right)=3x^{2}-1$ .

Donner le sens de variation de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right)=5x^{2}+3$ .

Donner le sens de variation de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right)=-2x^{2}-6$ .

Donner le sens de variation de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right)=-7x^{2}+1$ .