Fonctions polynômes de degré 2

Déterminer le sens de variation d'une fonction du second degré de la forme xax2+bx\mapsto ax^{2}+b - Exercice 1

6 min
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Question 1

Donner le sens de variation de la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=3x21f\left(x\right)=3x^{2}-1 .

Correction
  • La représentation graphique de la fonction xax2+bx\mapsto ax^{2}+{\color{blue}{b}}aa et b{\color{blue}{b}} sont des constantes réelles avec a0a\ne 0 est une parabole ayant la droite x=0x=0 comme axe de symétrie.
  • De plus :
  • Si a<0a<0 la parabole est tournée vers le bas. Autrement dit, ff est croissante puis décroissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées (0;b)\left(0;{\color{blue}{b}}\right) .
  • Si a>0a>0 la parabole est tournée vers le haut. Autrement dit, ff est décroissante puis croissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées (0;b)\left(0;{\color{blue}{b}}\right) .
Soit f(x)=3x21f\left(x\right)=3x^{2}-1 . Nous avons a=3>0a=3>0 et b=1{\color{blue}{b=-1}} .
La parabole est tournée vers le haut. Autrement dit, ff est décroissante puis croissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées (0;1)\left(0;{\color{blue}{-1}}\right).
Nous dressons le tableau de variation de ff ci-dessous :
Question 2

Donner le sens de variation de la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=5x2+3f\left(x\right)=5x^{2}+3 .

Correction
  • La représentation graphique de la fonction xax2+bx\mapsto ax^{2}+{\color{blue}{b}}aa et b{\color{blue}{b}} sont des constantes réelles avec a0a\ne 0 est une parabole ayant la droite x=0x=0 comme axe de symétrie.
  • De plus :
  • Si a<0a<0 la parabole est tournée vers le bas. Autrement dit, ff est croissante puis décroissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées (0;b)\left(0;{\color{blue}{b}}\right) .
  • Si a>0a>0 la parabole est tournée vers le haut. Autrement dit, ff est décroissante puis croissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées (0;b)\left(0;{\color{blue}{b}}\right) .
Soit f(x)=5x2+3f\left(x\right)=5x^{2}+3 . Nous avons a=5>0a=5>0 et b=3{\color{blue}{b=3}} .
La parabole est tournée vers le haut. Autrement dit, ff est décroissante puis croissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées (0;3)\left(0;{\color{blue}{3}}\right).
Nous dressons le tableau de variation de ff ci-dessous :
Question 3

Donner le sens de variation de la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x26f\left(x\right)=-2x^{2}-6 .

Correction
  • La représentation graphique de la fonction xax2+bx\mapsto ax^{2}+{\color{blue}{b}}aa et b{\color{blue}{b}} sont des constantes réelles avec a0a\ne 0 est une parabole ayant la droite x=0x=0 comme axe de symétrie.
  • De plus :
  • Si a<0a<0 la parabole est tournée vers le bas. Autrement dit, ff est croissante puis décroissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées (0;b)\left(0;{\color{blue}{b}}\right) .
  • Si a>0a>0 la parabole est tournée vers le haut. Autrement dit, ff est décroissante puis croissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées (0;b)\left(0;{\color{blue}{b}}\right) .
Soit f(x)=2x26f\left(x\right)=-2x^{2}-6 . Nous avons a=2<0a=-2<0 et b=6{\color{blue}{b=-6}} .
La parabole est tournée vers le bas. Autrement dit, ff est croissante puis décroissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées (0;6)\left(0;{\color{blue}{-6}}\right).
Nous dressons le tableau de variation de ff ci-dessous :
Question 4

Donner le sens de variation de la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=7x2+1f\left(x\right)=-7x^{2}+1 .

Correction
  • La représentation graphique de la fonction xax2+bx\mapsto ax^{2}+{\color{blue}{b}}aa et b{\color{blue}{b}} sont des constantes réelles avec a0a\ne 0 est une parabole ayant la droite x=0x=0 comme axe de symétrie.
  • De plus :
  • Si a<0a<0 la parabole est tournée vers le bas. Autrement dit, ff est croissante puis décroissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées (0;b)\left(0;{\color{blue}{b}}\right) .
  • Si a>0a>0 la parabole est tournée vers le haut. Autrement dit, ff est décroissante puis croissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées (0;b)\left(0;{\color{blue}{b}}\right) .
Soit f(x)=7x2+1f\left(x\right)=-7x^{2}+1 . Nous avons a=7<0a=-7<0 et b=1{\color{blue}{b=1}} .
La parabole est tournée vers le bas. Autrement dit, ff est croissante puis décroissante. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées (0;1)\left(0;{\color{blue}{1}}\right).
Nous dressons le tableau de variation de ff ci-dessous :