Fonctions polynômes de degré 2

Déterminer l'axe de symétrie d'une fonction du second degré à partir de sa forme factorisée - Exercice 3

10 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=4(x1)(x3)f\left(x\right)=4\left(x-1\right)\left(x-3\right). On note C\mathscr{C} sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

Déterminer les points d'intersection de la courbe C\mathscr{C} et de l'axe des abscisses.

Correction
Pour déterminer l’intersection de la courbe de ff avec l’axe des abscisses, il suffit de résoudre l’équation f(x)=0f\left(x\right)=0 .
Ainsi :
f(x)=4(x1)(x3)f\left(x\right)=4\left(x-1\right)\left(x-3\right) . Il s'agit ici d'une équation produit nul.
Il faut donc résoudre : x1=0x-1=0 ou\text{\red{ou}} x3=0x-3=0
D’une part :\text{\blue{D'une part :}}
x1=0x-1=0
x=1x=1
D’autre part :\text{\blue{D'autre part :}}
x3=0x-3=0
x=3x=3
Les points cherchés ont pour coordonnées (1;0)\left(1;0\right) et (3;0)\left(3;0\right)
Question 2

Déterminer une équation de l'axe de symétrie de la parabole C\mathscr{C} .

Correction
  • La représentation graphique de la fonction xa(xx1)(xx2)x\mapsto a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)aa, x1x_1 et x2x_2 sont des constantes réelles avec a0a\ne 0 est une parabole ayant la droite x=x1+x22x=\frac{x_1+x_2}{2} comme axe de symétrie.
Nous avons f(x)=4(x1)(x3)f\left(x\right)=4\left(x-1\right)\left(x-3\right) . D'après le rappel, nous pouvons identifier que x1=1x_1=1 et x2=3x_2=3 .
L'axe de symétrie admet comme équation x=x1+x22x=\frac{x_1+x_2}{2}, il vient alors :
x=1+32x=\frac{1+3}{2}
x=2x=2

Question 3

Tracer la parabole C\mathscr{C} et son axe de symétrie .

Correction