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Sens de variation d'une suite arithmétique - Exercice 1

8 min
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Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par son premier terme u0=−4u_{0}=-4 et la relation de récurrence : un+1=un+3u_{n+1}=u_{n}+3 pour tout entier naturel nn .
Question 1

Démontrer que (un)\left(u_{n} \right) est une suite arithmétique et donner sa raison .

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de reˊcurrence{\color{red}\text{la relation de récurrence}} : un+1=un+ru_{n+1} =u_{n} +r où rr est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite arithmétique.
    • D'après l'énoncé nous avons : un+1=un+3u_{n+1}=u_{n}+3 . Il en résulte donc que la suite (un)\left(u_{n} \right) est une suite arithmétique de raison r=3{\color{blue}r=3}
    Question 2

    Donner en le justifiant le sens de variation de la suite (un)\left(u_{n} \right) .

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique de raison rr.
  • La suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante\text{\red{croissante}} si r>0r>0 .
  • La suite (un)\left(u_{n} \right) est deˊcroissante\text{\red{décroissante}} si r<0r<0 .
  • La suite (un)\left(u_{n} \right) est constante\text{\red{constante}} si r=0r=0 .
    • La raison r=3r=3 étant positive, la suite arithmétique (un)\left(u_{n} \right) est croissante .
    Question 3

    Représenter graphiquement la suite (un)\left(u_{n} \right) dans un repère orthonormé (unité : 11 cm) .

    Correction