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Suites numériques
Expression récurrente d'une suite et calculs de ses premiers termes - Exercice 3
3 min
5
C
O
M
P
E
T
E
N
C
E
S
‾
:
C
a
l
c
u
l
e
r
.
{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer.}
COMPETENCES
:
C
a
l
c
u
l
er
.
Question 1
Soit
n
n
n
un entier naturel. On considère la suite
(
u
n
)
\left(u_n\right)
(
u
n
)
définie par :
{
u
0
=
2
u
n
+
1
=
3
(
u
n
)
2
−
4
u
n
+
2
n
−
5
\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {2} \\ {u_{n+1} } & {=} & {3\left(u_{n} \right)^{2} -4u_{n} +2n-5} \end{array}\right.
{
u
0
u
n
+
1
=
=
2
3
(
u
n
)
2
−
4
u
n
+
2
n
−
5
Calculer
u
1
u_{1}
u
1
et
u
2
u_{2}
u
2
.
Correction
Pour calculer
u
1
u_{1}
u
1
, dans la formule
u
n
+
1
=
3
(
u
n
)
2
−
4
u
n
+
2
n
−
5
u_{n+1} =3\left(u_{n} \right)^{2} -4u_{n} +2n-5
u
n
+
1
=
3
(
u
n
)
2
−
4
u
n
+
2
n
−
5
, on va remplacer la valeur de
n
n
n
par
0
0
0
.
Il vient alors :
u
0
+
1
=
3
(
u
0
)
2
−
4
u
0
+
2
×
0
−
5
u_{0+1} =3\left(u_{0} \right)^{2} -4u_{0} +2\times 0-5
u
0
+
1
=
3
(
u
0
)
2
−
4
u
0
+
2
×
0
−
5
. Or
u
0
=
2
u_0=2
u
0
=
2
, il vient alors que :
u
1
=
3
×
2
2
−
4
×
2
+
2
×
0
−
5
u_{1} =3\times2^{2} -4\times2 +2\times 0-5
u
1
=
3
×
2
2
−
4
×
2
+
2
×
0
−
5
u
1
=
3
×
4
−
8
−
5
u_{1} =3\times4 -8 -5
u
1
=
3
×
4
−
8
−
5
u
1
=
12
−
8
−
5
u_{1} =12 -8 -5
u
1
=
12
−
8
−
5
Ainsi :
u
1
=
−
1
u_{1} =-1
u
1
=
−
1
Pour calculer
u
2
u_{2}
u
2
, dans la formule
u
n
+
1
=
3
(
u
n
)
2
−
4
u
n
+
2
n
−
5
u_{n+1} =3\left(u_{n} \right)^{2} -4u_{n} +2n-5
u
n
+
1
=
3
(
u
n
)
2
−
4
u
n
+
2
n
−
5
, on va remplacer la valeur de
n
n
n
par
1
1
1
.
Il vient alors :
u
1
+
1
=
3
(
u
1
)
2
−
4
u
1
+
2
×
1
−
5
u_{1+1} =3\left(u_{1} \right)^{2} -4u_{1} +2\times 1-5
u
1
+
1
=
3
(
u
1
)
2
−
4
u
1
+
2
×
1
−
5
. Or
u
1
=
−
1
u_1=-1
u
1
=
−
1
, il vient alors que :
u
2
=
3
×
(
−
1
)
2
−
4
×
(
−
1
)
+
2
×
1
−
5
u_{2} =3\times\left(-1 \right)^{2} -4\times\left(-1 \right) +2\times1-5
u
2
=
3
×
(
−
1
)
2
−
4
×
(
−
1
)
+
2
×
1
−
5
u
2
=
3
×
1
+
4
+
2
−
5
u_{2} =3\times1 +4+2-5
u
2
=
3
×
1
+
4
+
2
−
5
u
2
=
3
+
4
+
2
−
5
u_{2} =3 +4+2-5
u
2
=
3
+
4
+
2
−
5
Ainsi :
u
2
=
4
u_{2} =4
u
2
=
4