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Expression récurrente d'une suite et calculs de ses premiers termes - Exercice 1

20 min
30
COMPETENCES  :  Calculer.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer.}
Question 1
Soit nn un entier naturel.
Calculer les deux premiers termes de chacune des suites suivantes :

{u0=2un+1=3un5\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {2} \\ {u_{n+1} } & {=} & {3u_{n} -5} \end{array}\right.

Correction
On commence par calculer u1u_{1} car nous avons besoin de u0u_{0} pour obtenir u1u_{1} .

Pour calculer u1u_{1} , dans la formule un+1=3un5u_{n+1} =3u_{n} -5, on va remplacer la valeur de nn par 00.
Il vient alors :
u0+1=3u05u_{0+1} =3u_{0} -5 donne u1=3u05u_{1} =3u_{0} -5 d'où u1=3×25u_{1} =3\times 2-5 ainsi
u1=1u_{1} =1

Pour calculer u2u_{2} , dans la formule un+1=3un5u_{n+1} =3u_{n} -5, on va remplacer la valeur de nn par 11.
Il vient alors :
u1+1=3u15u_{1+1} =3u_{1} -5 donne u2=3u15u_{2} =3u_{1} -5 d'où u2=3×15u_{2} =3\times 1-5 ainsi
u2=2u_{2} =-2


Pour calculer u3u_{3} , dans la formule un+1=3un5u_{n+1} =3u_{n} -5, on va remplacer la valeur de nn par 22.
Il vient alors :
u2+1=3u25u_{2+1} =3u_{2} -5 donne u3=3u25u_{3} =3u_{2} -5 d'où u3=3×(2)5u_{3} =3\times \left(-2\right)-5 ainsi
u3=11u_{3} =-11

Question 2

{u0=3un+1=un5n+3\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {-3} \\ {u_{n+1} } & {=} & {u_{n} -5n+3} \end{array}\right.

Correction
On commence par calculer u1u_{1} car nous avons besoin de u0u_{0} pour obtenir u1u_{1} .

Pour calculer u1u_{1} , dans la formule un+1=un5n+3u_{n+1} =u_{n} -5n+3, on va remplacer la valeur de nn par 00.
Il vient alors :
u0+1=u05×0+3u_{0+1} =u_{0} -5\times 0+3 donne u1=u0+3u_{1} =u_{0} +3 d'où u1=3+3u_{1} =-3+3 ainsi
u1=0u_{1} =0


Pour calculer u2u_{2} , dans la formule un+1=un5n+3u_{n+1} =u_{n} -5n+3, on va remplacer la valeur de nn par 11.
Il vient alors :
u1+1=u15×1+3u_{1+1} =u_{1} -5\times 1+3 donne u2=u15+3u_{2} =u_{1} -5+3 d'où u2=05+3u_{2} =0-5+3 ainsi
u2=2u_{2} =-2


Pour calculer u3u_{3} , dans la formule un+1=un5n+3u_{n+1} =u_{n} -5n+3, on va remplacer la valeur de nn par 22.
Il vient alors :
u2+1=u25×2+3u_{2+1} =u_{2} -5\times 2+3 donne u3=u210+3u_{3} =u_{2} -10+3 d'où u3=210+3u_{3} =-2-10+3 ainsi
u3=9u_{3} =-9

Question 3

{u0=1un+1=un+un+4\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {1} \\ {u_{n+1} } & {=} & {\sqrt{u_{n}}+u_{n} +4} \end{array}\right.

Correction
On commence par calculer u1u_{1} car nous avons besoin de u0u_{0} pour obtenir u1u_{1} .

Pour calculer u1u_{1} , dans la formule un+1=un+un+4u_{n+1} =\sqrt{u_{n}}+u_{n} +4, on va remplacer la valeur de nn par 00.
Il vient alors :
u0+1=u0+u0+4u_{0+1} =\sqrt{u_{0}}+u_{0} +4 donne u1=u0+u0+4u_{1} =\sqrt{u_{0}}+u_{0} +4 d'où u1=1+1+4u_{1} =\sqrt{1}+1 +4 ainsi
u1=6u_{1} =6

Pour calculer u2u_{2} , dans la formule un+1=un+un+4u_{n+1} =\sqrt{u_{n}}+u_{n} +4, on va remplacer la valeur de nn par 11.
Il vient alors :
u1+1=u1+u1+4u_{1+1} =\sqrt{u_{1}}+u_{1} +4 donne u2=u1+u1+4u_{2} =\sqrt{u_{1}}+u_{1} +4 d'où u2=6+6+4u_{2} =\sqrt{6}+6 +4 ainsi
u2=6+10u_{2} =\sqrt{6}+10

Question 4

{u0=1un+1=(2un+4)2\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {-1} \\ {u_{n+1} } & {=} & {\left(2u_{n} +4\right)^{2} } \end{array}\right.

Correction
On commence par calculer u1u_{1} car nous avons besoin de u0u_{0} pour obtenir u1u_{1} .

Pour calculer u1u_{1} , dans la formule un+1=(2un+4)2u_{n+1} =\left(2u_{n} +4\right)^{2}, on va remplacer la valeur de nn par 00.
Il vient alors :
u0+1=(2u0+4)2u_{0+1} =\left(2u_{0} +4\right)^{2} donne u1=(2×(1)+4)2u_{1} =\left(2\times \left(-1\right)+4\right)^{2} d'où u1=22u_{1} =2^{2} ainsi
u1=4u_{1} =4

Pour calculer u2u_{2} , dans la formule un+1=(2un+4)2u_{n+1} =\left(2u_{n} +4\right)^{2}, on va remplacer la valeur de nn par 11.
Il vient alors :
u1+1=(2u1+4)2u_{1+1} =\left(2u_{1} +4\right)^{2} donne u2=(2×4+4)2u_{2} =\left(2\times 4+4\right)^{2} d'où u2=122u_{2} =12^{2} ainsi
u2=144u_{2} =144
Question 5

{u0=1un+1=6unun+2\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {1} \\ {u_{n+1} } & {=} & {\frac{6u_{n} }{u_{n} + 2} } \end{array}\right.

Correction
On commence par calculer u1u_{1} car nous avons besoin de u0u_{0} pour obtenir u1u_{1} .

Pour calculer u1u_{1} , dans la formule un+1=6unun+2u_{n+1} =\frac{6u_{n} }{u_{n} +2}, on va remplacer la valeur de nn par 00.
Il vient alors :
u0+1=6u0u0+2u_{0+1} =\frac{6u_{0} }{u_{0} +2} donne u1=6×11+2u_{1} =\frac{6\times1 }{1 +2} d'où u1=63u_{1} =\frac{6}{3} ainsi
u1=2u_{1} =2

Pour calculer u2u_{2} , dans la formule un+1=6unun+2u_{n+1} =\frac{6u_{n} }{u_{n} +2}, on va remplacer la valeur de nn par 11.
Il vient alors :
u1+1=6u1u1+2u_{1+1} =\frac{6u_{1} }{u_{1} +2} donne u2=6×22+2u_{2} =\frac{6\times2 }{2 +2} d'où u2=124u_{2} =\frac{12}{4} ainsi
u2=3u_{2} =3

Pour calculer u3u_{3} , dans la formule un+1=6unun+2u_{n+1} =\frac{6u_{n} }{u_{n} +2}, on va remplacer la valeur de nn par 22.
Il vient alors :
u2+1=6u2u2+2u_{2+1} =\frac{6u_{2} }{u_{2} +2} donne u3=6×32+3u_{3} =\frac{6\times3 }{2 +3} ainsi
u3=185u_{3} =\frac{18}{5}
Question 6

{u0=2un+1=4un+n1\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {2} \\ {u_{n+1} } & {=} & {4u_{n} +n-1} \end{array}\right.

Correction
On commence par calculer u1u_{1} car nous avons besoin de u0u_{0} pour obtenir u1u_{1} .

Pour calculer u1u_{1} , dans la formule un+1=4un+n1u_{n+1} =4u_{n} +n-1, on va remplacer la valeur de nn par 00.
Il vient alors :
u0+1=4u0+01u_{0+1} =4u_{0} +0-1 donne u1=4u01u_{1} =4u_{0}-1 d'où u1=4×21u_{1} =4\times 2-1 ainsi
u1=7u_{1} =7


Pour calculer u2u_{2} , dans la formule un+1=4un+n1u_{n+1} =4u_{n} +n-1, on va remplacer la valeur de nn par 11.
Il vient alors :
u1+1=4u1+11u_{1+1} =4u_{1} +1-1 donne u2=4u1u_{2} =4u_{1} d'où u2=4×7u_{2} =4\times 7 ainsi
u2=28u_{2} =28


Pour calculer u3u_{3} , dans la formule un+1=4un+n1u_{n+1} =4u_{n} +n-1, on va remplacer la valeur de nn par 22.
Il vient alors :
u2+1=4u2+21u_{2+1} =4u_{2} +2-1 donne u3=4u2+1u_{3} =4u_{2}+1 d'où u3=4×28+1u_{3} =4\times 28+1 ainsi
u3=113u_{3} =113