Suites numériques

Exercices types : 1ère partie - Exercice 2

30 min
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Deux coureurs cyclistes, Ugo et Vivien, ont programmé un entraînement hebdomadaire afin de se préparer à une course qui aura lieu dans quelques mois.
Leur objectif est de parcourir chacun une distance totale de 15001500 km pendant leur période d’entraînement de 2020 semaines.
  • Ugo commence son entraînement en parcourant 4040 km la première semaine et prévoit d’augmenter cette distance de 55 km par semaine.
  • Vivien commence son entraînement en parcourant 3030 km la première semaine et prévoit d’augmenter cette distance de 10%10\% par semaine.
  • On note unu_{n} la distance, en kilomètres, parcourue par Ugo la nnième semaine.
    On note vnv_{n} la distance, en kilomètres, parcourue par Vivien la nnième semaine.
    On a ainsi u1=40u_{1} = 40 et v1=30v_{1} = 30.
    Dans cet exercice, on étudie les suites (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right).
    Question 1
    Partie A : l’entraînement d'Ugo.

    Calculer les distances parcourues par Ugo au cours des deuxième et troisième semaines d’entraînement.

    Correction
    Il nous faut ici calculer les distances parcourues par Ugo au cours des deuxième et troisième semaines d’entraînement c’est-à-dire u2u_{2} et u3u_{3}. Ugo prévoit une augmentation de 55 km par semaine. Il vient alors que :
    u2=u1+5=40+5u_{2}=u_{1}+5=40+5 d'où :
    u2=45u_{2}=45

    u3=u2+5=45+5u_{3}=u_{2}+5=45+5 d'où :
    u3=50u_{3}=50

    Ugo parcourra 4545 km la deuxième semaine et 5050 km la troisième semaine.
    Question 2

    Quelle est la nature de la suite (un)\left(u_{n}\right)? Préciser sa raison.

    Correction
    La suite (un)\left(u_{n}\right) est une suite arithmeˊtique{\color{blue}\text{arithmétique}} car chaque terme se déduit du précédent en ajoutant 55. La raison est r=5r=5.
    Question 3
    uu est un réel
    ii et nn sont des entiers naturels
    Saisir nn
    uu prend la valeur ....(1).... \left(1\right)
    Pour ii allant de 11 à nn
         uu prend la valeur ....(2)....\left(2\right)
    Fin Pour
    Afficher uu

    Recopier l’algorithme ci-dessus et en compléter les lignes (1)\left(1\right) et (2)\left(2\right) de façon à ce qu’il affiche en sortie la distance parcourue par Ugo lors de la nnième semaine d’entraînement.

    Correction
    uu est un réel
    ii et nn sont des entiers naturels
    Saisir nn
    uu prend la valeur 35{\color{blue}35}
    Pour ii allant de 11 à nn
         uu prend la valeur u+5{\color{blue}u+5}
    Fin Pour
    Afficher uu

    Remarque :{\color{red}\text{Remarque :}} puisque la boucle commence à 11 il faut donc qu’en sortie pour n=1n = 1 on obtienne 4040, par conséquent il faut initialiser la valeur uu à 3535 comme le montre la question suivante.
    Question 4

    Montrer que, pour tour n1n\ge1, on a : un=35+5nu_{n}=35+5n

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1+(n1)×ru_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • Cette question correspond tout simplement à donner l'expression unu_{n} en fonction de nn.
    Dans notre cas, le premier terme ici vaut u1=40u_{1} =40.
    Il en résulte donc que :
    un=40+(n1)×5u_{n} =40 +\left(n-1\right)\times 5 . Nous allons maintenant développer :
    un=40+5n5u_{n} =40 +5n-5
    Autrement dit :
    un=35+5nu_{n} =35 +5n
    Question 5

    Calculer u14u_{14} et u15u_{15} .

    Correction
    Comme un=35+5nu_{n} =35 +5n alors :
    u14=35+5×14u_{14} =35 +5\times14 d'où
    u14=105u_{14} =105

    u15=35+5×15u_{15} =35 +5\times15 d'où
    u15=110u_{15} =110
    Question 6
    Partie B: l’entraînement de Vivien.

    Quelle est la nature de la suite (vn)\left(v_{n}\right)? Préciser sa raison.

    Correction
    Chaque semaine, Vivien prévoit d’augmenter cette distance de 10%10\% . On multiplie donc chaque semaine la distance par le coefficient multiplicateur q=1+10100=1,1q=1+\frac{10}{100}=1,1 . Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par 1,11,1 .
    Il en résulte donc que la suite (vn)\left(v_{n}\right) est geˊomeˊtrique{\color{blue}\text{géométrique}} de raison q=1,1q=1,1
    Question 7

    Montrer que, pour tour n1n\ge1, on a : vn=30×1,1n1v_{n}=30\times1,1^{n-1}

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • Dans notre cas, le premier terme ici vaut v1=30v_{1} = 30.
    Il en résulte donc que :
    vn=30×1,1n1v_{n} =30\times1,1^{n-1}

    Question 8

    Calculer v14v_{14} et $v_{15}. On arrondira le résultat au dixième.

    Correction
    Comme vn=30×1,1n1v_{n} =30\times1,1^{n-1} alors :
    v14=30×1,1141v_{14} =30\times1,1^{14-1} d'où
    v14103,6v_{14} \approx103,6

    v15=30×1,1151v_{15} =30\times1,1^{15-1} d'où
    v15113,9v_{15} \approx113,9
    Question 9
    Partie C : comparaison des deux entraînements.

    Vivien est persuadé qu’il y aura une semaine où il parcourra une distance supérieure à celle parcourue par Ugo. Vivien a-t-il raison? On pourra utiliser les parties AA et BB pour justifier la réponse.

    Correction
    Vivien est persuadé qu’il y aura une semaine où il parcourra une distance supérieure à celle parcourue par Ugo. Vivien a effectivement raison. En effet, on a vu précédemment que :

    u14=35+5×14u_{14} =35 +5\times14 d'où
    u14=105u_{14} =105

    u15=35+5×15u_{15} =35 +5\times15 d'où
    u15=110u_{15} =110

    v14=30×1,1141v_{14} =30\times1,1^{14-1} d'où
    v14103,6v_{14} \approx103,6

    v15=30×1,1151v_{15} =30\times1,1^{15-1} d'où
    v15113,9v_{15} \approx113,9

    Nous avons donc au rang n=15n=15, le fait que : v15>u15v_{15}>u_{15} . A la 1515 ème semaine, Vivien aura parcouru une plus grande distance qu'Ugo.