Suites numériques

Exercices types : 1ère partie - Exercice 1

35 min
55
A la naissance de leur fille Lina en 20072007, des parents décident de placer 40004000 euros afin de financer ses futures études. Ils auront accès à leur dépôt en 20252025, lors des 1818 ans de Lina.
Ils prennent rendez vous avec deux banques.
  • La banque Uranus leur propose un placement qui rapportera 300300 euros par an.
  • La banque Vénus leur propose un placement à 5%5\% par an.
    • On note unu_{n} la somme disponible l'année (2007+n)\left(2007+n\right) suite au placement dans la banque Uranus.
    On note vnv_{n} la somme disponible l'année (2007+n)\left(2007+n\right) suite au placement dans la banque Vénus.
    Question 1
    Etude de la proposition de la banque Uranus.

    Donner la valeur de u0u_{0}.

    Correction
    Il s'agit du dépôt initial fait par les parents.
    unu_{n} est la somme disponible l'année (2007+n)\left(2007+n\right) . Il en résulte que u0u_{0} correspond à la somme en 20072007.
    D'où
    u0=4000u_{0}=4000
    .
    Question 2

    Calculer u1u_{1} .

    Correction
    Chaque année, la banque Uranus leur reverse 300300 euros.
    Il en résulte donc que : u1=u0+300=4000+300u_{1}=u_{0}+300=4000+300
    D'où :
    u1=4300u_{1}=4300
    Question 3

    Donner la nature de la suite (un)\left(u_{n}\right).

    Correction
    Chaque année, la banque Uranus leur reverse 300300 euros. Chaque terme se déduit du précédent en ajoutant 300300. Il en résulte donc que la suite (un)\left(u_{n}\right) est arithmeˊtique{\color{blue}\text{arithmétique}} de raison r=300r=300.
    Question 4

    Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n}.

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un+ru_{n+1} =u_{n} +r où rr est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite arithmétique.
    • Ainsi :
    un+1=un+300u_{n+1} =u_{n} +300
    Question 5

    Exprimer unu_{n} en fonction de nn .

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1+(n−1)×ru_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u0=4000u_{0} =4000.
    Il en résulte donc que : un=4000+n×300u_{n} =4000 +n\times 300
    Autrement dit :
    un=4000+300nu_{n} =4000 +300n
    Question 6

    Calculer la valeur du placement à la majorité de Lina avec la proposition de la banque Uranus.

    Correction
    Lina étant née en 20072007, elle aura 1818 en 20252025.
    Nous savons que le terme u0=4000u_{0} =4000 correspond à 20072007 et de ce fait u18u_{18} correspond au montant en 20252025.
    D'après la question précédente, un=4000+300nu_{n} =4000 +300n et de ce fait :
    u18=4000+300×18u_{18} =4000 +300\times 18
    u18=9400u_{18} =9400

    La somme disponible à la majorité de Lina est alors de 94009400 euros.
    Question 7
    Etude de la proposition de la banque Vénus.

    Donner la valeur de v0v_{0}.

    Correction
    Il s'agit du dépôt initial fait par les parents.
    vnv_{n} est la somme disponible l'année (2007+n)\left(2007+n\right) . Il en résulte que v0v_{0} correspond à la somme en 20072007.
    D'où
    v0=4000v_{0}=4000
    .
    Question 8

    Calculer v1v_{1} .

    Correction
    Chaque année, la banque Vénus leur propose une rémunération de 5%5\%. C'est à dire une augmentation annuelle de 5%5\% . On multiplie donc chaque année le capital par le coefficient multiplicateur q=1+5100=1,05q=1+\frac{5}{100}=1,05 .
    Il en résulte donc que : v1=v0×1,05=v0×1,05v_{1}=v_{0}\times1,05=v_{0}\times1,05
    D'où :
    v1=4200v_{1}=4200
    Question 9

    Donner la nature de la suite (vn)\left(v_{n}\right).

    Correction
    Chaque année, la banque Vénus leur propose une rémunération de 5%5\%. C'est à dire une augmentation annuelle de 5%5\% . On multiplie donc chaque année le capital par le coefficient multiplicateur q=1+5100=1,05q=1+\frac{5}{100}=1,05 .
    Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par 1,051,05.
    Il en résulte donc que la suite (vn)\left(v_{n}\right) est geˊomeˊtrique{\color{blue}\text{géométrique}} de raison q=1,05q=1,05
    Question 10

    Exprimer vn+1v_{n+1} en fonction de vnv_{n} .

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n}\times q où qq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
    • Ainsi :
    vn+1=vn×1,05v_{n+1} =v_{n}\times1,05
    Finalement :
    vn+1=1,05vnv_{n+1} =1,05v_{n}
    Question 11

    Exprimer vnv_{n} en fonction de nn .

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn−1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut v0=4000v_{0} =4000.
    Il en résulte donc que :
    vn=4000×1,05nv_{n} =4000\times1,05^{n}

    Question 12

    Calculer la valeur du placement à la majorité de Lina avec la proposition de la banque Vénus.

    Correction
    Lina étant née en 20072007, elle aura 1818 en 20252025.
    Nous savons que le terme v0=4000v_{0} =4000 correspond à 20072007 et de ce fait v18v_{18} correspond au montant en 20252025.
    D'après la question précédente, vn=4000×1,05nv_{n} =4000\times1,05^{n} et de ce fait :
    v18=4000×1,0518v_{18} =4000\times1,05^{18}
    v18≈9626v_{18} \approx9626

    La somme disponible à la majorité de Lina est alors de 96269626 euros.
    Question 13

    Quel est le placement que les parents de Lina vont choisir?

    Correction
    Après 1818 ans, la banque Uranus proposera un solde à 94009400 alors que la banque Vénus aura un solde qui s'élèvera à 96269626 euros.
    Les parents de Lina retiendront donc la proposition de la banque Vénus.