Suites numériques

Exercices types : 1^ère partie

Exercice 2

Deux coureurs cyclistes, Ugo et Vivien, ont programmé un entraînement hebdomadaire aﬁn de se préparer à une course qui aura lieu dans quelques mois.
Leur objectif est de parcourir chacun une distance totale de

1500

km pendant leur période d’entraînement de

20

semaines.

Ugo commence son entraînement en parcourant

40

km la première semaine et prévoit d’augmenter cette distance de

5

km par semaine.

Vivien commence son entraînement en parcourant

30

km la première semaine et prévoit d’augmenter cette distance de

10\%

par semaine.

On note

u_{n}

la distance, en kilomètres, parcourue par Ugo la

n

^ième semaine.
On note

v_{n}

la distance, en kilomètres, parcourue par Vivien la

n

^ième semaine.
On a ainsi

u_{1} = 40

v_{1} = 30

.
Dans cet exercice, on étudie les suites

\left(u_{n}\right)

\left(v_{n}\right)

Partie A : l’entraînement d'Ugo.

Calculer les distances parcourues par Ugo au cours des deuxième et troisième semaines d’entraînement.

Correction

Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Préciser sa raison.

Correction

u

est un réel

i

n

sont des entiers naturels
Saisir

n

u

prend la valeur

.... \left(1\right)

Pour

i

allant de

1

n

u

prend la valeur

....\left(2\right)

Fin Pour
Afficher

u

Recopier l’algorithme ci-dessus et en compléter les lignes $\left(1\right)$ et $\left(2\right)$ de façon à ce qu’il affiche en sortie la distance parcourue par Ugo lors de la $n$ ^ième semaine d’entraînement.

Correction

Montrer que, pour tour $n\ge1$ , on a : $u_{n}=35+5n$

Correction

Calculer $u_{14}$ et $u_{15}$ .

Correction

Partie B: l’entraînement de Vivien.

Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? Préciser sa raison.

Correction

Montrer que, pour tour $n\ge1$ , on a : $v_{n}=30\times1,1^{n-1}$

Correction

Calculer $v_{14}$ et $v_{15}. On arrondira le résultat au dixième.

Correction

Partie C : comparaison des deux entraînements.

Vivien est persuadé qu’il y aura une semaine où il parcourra une distance supérieure à celle parcourue par Ugo. Vivien a-t-il raison? On pourra utiliser les parties $A$ et $B$ pour justifier la réponse.

Correction

Exercices types : 1^ère partie

Exercice 1

Donner la valeur de $u_{0}$ .

Calculer $u_{1}$ .

Donner la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ .

Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ .

Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .

Calculer la valeur du placement à la majorité de Lina avec la proposition de la banque Uranus.

Donner la valeur de $v_{0}$ .

Calculer $v_{1}$ .

Donner la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ .

Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$ .

Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ .

Calculer la valeur du placement à la majorité de Lina avec la proposition de la banque Vénus.

Quel est le placement que les parents de Lina vont choisir?

Exercice 2

Calculer les distances parcourues par Ugo au cours des deuxième et troisième semaines d’entraînement.

Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Préciser sa raison.

Recopier l’algorithme ci-dessus et en compléter les lignes $\left(1\right)$ et $\left(2\right)$ de façon à ce qu’il affiche en sortie la distance parcourue par Ugo lors de la $n$ ^ième semaine d’entraînement.

Montrer que, pour tour $n\ge1$ , on a : $u_{n}=35+5n$

Calculer $u_{14}$ et $u_{15}$ .

Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? Préciser sa raison.

Montrer que, pour tour $n\ge1$ , on a : $v_{n}=30\times1,1^{n-1}$

Calculer $v_{14}$ et $v_{15}. On arrondira le résultat au dixième.

Vivien est persuadé qu’il y aura une semaine où il parcourra une distance supérieure à celle parcourue par Ugo. Vivien a-t-il raison? On pourra utiliser les parties $A$ et $B$ pour justifier la réponse.

Exercices types : 1ère partie

Exercice 1

Donner la valeur de u0u_{0}u0​.

Calculer u1u_{1}u1​ .

Donner la nature de la suite (un)\left(u_{n}\right)(un​).

Exprimer un+1u_{n+1}un+1​ en fonction de unu_{n}un​.

Exprimer unu_{n}un​ en fonction de nnn .

Calculer la valeur du placement à la majorité de Lina avec la proposition de la banque Uranus.

Donner la valeur de v0v_{0}v0​.

Calculer v1v_{1}v1​ .

Donner la nature de la suite (vn)\left(v_{n}\right)(vn​).

Exprimer vn+1v_{n+1}vn+1​ en fonction de vnv_{n}vn​ .

Exprimer vnv_{n}vn​ en fonction de nnn .

Calculer la valeur du placement à la majorité de Lina avec la proposition de la banque Vénus.

Quel est le placement que les parents de Lina vont choisir?

Exercice 2

Calculer les distances parcourues par Ugo au cours des deuxième et troisième semaines d’entraînement.

Quelle est la nature de la suite (un)\left(u_{n}\right)(un​)? Préciser sa raison.

Recopier l’algorithme ci-dessus et en compléter les lignes (1)\left(1\right)(1) et (2)\left(2\right)(2) de façon à ce qu’il affiche en sortie la distance parcourue par Ugo lors de la nnnième semaine d’entraînement.

Montrer que, pour tour n≥1n\ge1n≥1, on a : un=35+5nu_{n}=35+5nun​=35+5n

Calculer u14u_{14}u14​ et u15u_{15}u15​ .

Quelle est la nature de la suite (vn)\left(v_{n}\right)(vn​)? Préciser sa raison.

Montrer que, pour tour n≥1n\ge1n≥1, on a : vn=30×1,1n−1v_{n}=30\times1,1^{n-1}vn​=30×1,1n−1

Calculer v14v_{14}v14​ et $v_{15}. On arrondira le résultat au dixième.

Vivien est persuadé qu’il y aura une semaine où il parcourra une distance supérieure à celle parcourue par Ugo. Vivien a-t-il raison? On pourra utiliser les parties AAA et BBB pour justifier la réponse.

Exercices types : 1^ère partie

Donner la valeur de $u_{0}$ .

Calculer $u_{1}$ .

Donner la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ .

Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ .

Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .

Donner la valeur de $v_{0}$ .

Calculer $v_{1}$ .

Donner la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ .

Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$ .

Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ .

Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Préciser sa raison.

Recopier l’algorithme ci-dessus et en compléter les lignes $\left(1\right)$ et $\left(2\right)$ de façon à ce qu’il affiche en sortie la distance parcourue par Ugo lors de la $n$ ^ième semaine d’entraînement.

Montrer que, pour tour $n\ge1$ , on a : $u_{n}=35+5n$

Calculer $u_{14}$ et $u_{15}$ .

Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? Préciser sa raison.

Montrer que, pour tour $n\ge1$ , on a : $v_{n}=30\times1,1^{n-1}$

Calculer $v_{14}$ et $v_{15}. On arrondira le résultat au dixième.

Vivien est persuadé qu’il y aura une semaine où il parcourra une distance supérieure à celle parcourue par Ugo. Vivien a-t-il raison? On pourra utiliser les parties $A$ et $B$ pour justifier la réponse.