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Etudier le sens de la variation d’une suite
(
u
n
)
(u_{n})
(
u
n
)
à l'aide de
u
n
+
1
−
u
n
u_{n+1} -u_{n}
u
n
+
1
−
u
n
- Exercice 3
20 min
35
Soit
n
n
n
un entier naturel non nul.
Pour les cas suivants, étudier le sens de variation de la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
.
On peut également demander d'étudier la monotonie de la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
.
Ces deux questions sont identiques.
Question 1
u
n
=
2
n
+
3
u_{n} =2n+3
u
n
=
2
n
+
3
Correction
Si
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
u_{n+1} -u_{n} \ge 0
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est croissante.
Si
u
n
+
1
−
u
n
≤
0
u_{n+1} -u_{n} \le 0
u
n
+
1
−
u
n
≤
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est décroissante.
Si
u
n
+
1
−
u
n
=
0
u_{n+1} -u_{n} =0
u
n
+
1
−
u
n
=
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est constante.
1
ère
étape :
Exprimer
u
n
+
1
u_{n+1}
u
n
+
1
en fonction de
n
n
n
.
Comme
u
n
=
2
n
+
3
u_{n} =2n+3
u
n
=
2
n
+
3
alors :
u
n
+
1
=
2
(
n
+
1
)
+
3
u_{n+1} =2\left(n+1\right)+3
u
n
+
1
=
2
(
n
+
1
)
+
3
u
n
+
1
=
2
n
+
2
+
3
u_{n+1} =2n+2+3
u
n
+
1
=
2
n
+
2
+
3
u
n
+
1
=
2
n
+
5
u_{n+1} =2n+5
u
n
+
1
=
2
n
+
5
2
ème
étape :
Calcul de
u
n
+
1
−
u
n
u_{n+1} -u_{n}
u
n
+
1
−
u
n
puis étude du signe de
u
n
+
1
−
u
n
u_{n+1} -u_{n}
u
n
+
1
−
u
n
.
u
n
+
1
−
u
n
=
2
n
+
5
−
(
2
n
+
3
)
u_{n+1} -u_{n} =2n+5-\left(2n+3\right)
u
n
+
1
−
u
n
=
2
n
+
5
−
(
2
n
+
3
)
u
n
+
1
−
u
n
=
2
n
+
5
−
2
n
−
3
u_{n+1} -u_{n} =2n+5-2n-3
u
n
+
1
−
u
n
=
2
n
+
5
−
2
n
−
3
u
n
+
1
−
u
n
=
2
u_{n+1} -u_{n} =2
u
n
+
1
−
u
n
=
2
Or
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
u_{n+1} -u_{n} \ge 0
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est
croissante.
\red{\text{ croissante.}}
croissante.
Question 2
u
n
=
−
4
n
+
9
u_{n} =-4n+9
u
n
=
−
4
n
+
9
Correction
Si
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
u_{n+1} -u_{n} \ge 0
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est croissante.
Si
u
n
+
1
−
u
n
≤
0
u_{n+1} -u_{n} \le 0
u
n
+
1
−
u
n
≤
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est décroissante.
Si
u
n
+
1
−
u
n
=
0
u_{n+1} -u_{n} =0
u
n
+
1
−
u
n
=
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est constante.
1
ère
étape :
Exprimer
u
n
+
1
u_{n+1}
u
n
+
1
en fonction de
n
n
n
.
Comme
u
n
=
−
4
n
+
9
u_{n} =-4n+9
u
n
=
−
4
n
+
9
alors :
u
n
+
1
=
−
4
(
n
+
1
)
+
9
u_{n+1} =-4\left(n+1\right)+9
u
n
+
1
=
−
4
(
n
+
1
)
+
9
u
n
+
1
=
−
4
n
−
4
+
9
u_{n+1} =-4n-4+9
u
n
+
1
=
−
4
n
−
4
+
9
u
n
+
1
=
−
4
n
+
5
u_{n+1} =-4n+5
u
n
+
1
=
−
4
n
+
5
2
ème
étape :
Calcul de
u
n
+
1
−
u
n
u_{n+1} -u_{n}
u
n
+
1
−
u
n
puis étude du signe de
u
n
+
1
−
u
n
u_{n+1} -u_{n}
u
n
+
1
−
u
n
.
u
n
+
1
−
u
n
=
−
4
n
+
5
−
(
−
4
n
+
9
)
u_{n+1} -u_{n} =-4n+5-\left(-4n+9\right)
u
n
+
1
−
u
n
=
−
4
n
+
5
−
(
−
4
n
+
9
)
u
n
+
1
−
u
n
=
−
4
n
+
5
+
4
n
−
9
u_{n+1} -u_{n} =-4n+5+4n-9
u
n
+
1
−
u
n
=
−
4
n
+
5
+
4
n
−
9
u
n
+
1
−
u
n
=
−
4
u_{n+1} -u_{n} =-4
u
n
+
1
−
u
n
=
−
4
Or
u
n
+
1
−
u
n
≤
0
u_{n+1} -u_{n} \le 0
u
n
+
1
−
u
n
≤
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est
d
e
ˊ
croissante.
\red{\text{ décroissante.}}
d
e
ˊ
croissante.
Question 3
u
n
=
n
2
+
3
u_{n} =n^{2} +3
u
n
=
n
2
+
3
Correction
Si
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
u_{n+1} -u_{n} \ge 0
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est croissante.
Si
u
n
+
1
−
u
n
≤
0
u_{n+1} -u_{n} \le 0
u
n
+
1
−
u
n
≤
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est décroissante.
Si
u
n
+
1
−
u
n
=
0
u_{n+1} -u_{n} =0
u
n
+
1
−
u
n
=
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est constante.
1
ère
étape :
Exprimer
u
n
+
1
u_{n+1}
u
n
+
1
en fonction de
n
n
n
.
Comme
u
n
=
n
2
+
3
u_{n} =n^{2} +3
u
n
=
n
2
+
3
alors :
u
n
+
1
=
(
n
+
1
)
2
+
3
u_{n+1} =\left(n+1\right)^{2} +3
u
n
+
1
=
(
n
+
1
)
2
+
3
u
n
+
1
=
n
2
+
2
n
+
1
+
3
u_{n+1} =n^{2} +2n+1+3
u
n
+
1
=
n
2
+
2
n
+
1
+
3
u
n
+
1
=
n
2
+
2
n
+
4
u_{n+1} =n^{2} +2n+4
u
n
+
1
=
n
2
+
2
n
+
4
2
ème
étape :
Calcul de
u
n
+
1
−
u
n
u_{n+1} -u_{n}
u
n
+
1
−
u
n
puis étude du signe de
u
n
+
1
−
u
n
u_{n+1} -u_{n}
u
n
+
1
−
u
n
.
u
n
+
1
−
u
n
=
n
2
+
2
n
+
4
−
(
n
2
+
3
)
u_{n+1} -u_{n} =n^{2} +2n+4-\left(n^{2} +3\right)
u
n
+
1
−
u
n
=
n
2
+
2
n
+
4
−
(
n
2
+
3
)
u
n
+
1
−
u
n
=
n
2
+
2
n
+
4
−
n
2
−
3
u_{n+1} -u_{n} =n^{2} +2n+4-n^{2} -3
u
n
+
1
−
u
n
=
n
2
+
2
n
+
4
−
n
2
−
3
u
n
+
1
−
u
n
=
2
n
+
1
u_{n+1} -u_{n} =2n+1
u
n
+
1
−
u
n
=
2
n
+
1
Ici,
u
n
+
1
−
u
n
u_{n+1} -u_{n}
u
n
+
1
−
u
n
dépend de
n
n
n
, il faut donc étudier le signe de
2
n
+
1
2n+1
2
n
+
1
.
Comme
n
n
n
un entier naturel alors
n
≥
0
n\ge0
n
≥
0
donc
2
n
≥
0
2n\ge0
2
n
≥
0
ainsi
2
n
+
1
≥
1
2n+1\ge1
2
n
+
1
≥
1
.
Il en résulte que
2
n
+
1
≥
0
2n+1\ge 0
2
n
+
1
≥
0
Or
u
n
+
1
−
u
n
=
2
n
+
1
u_{n+1} -u_{n} =2n+1
u
n
+
1
−
u
n
=
2
n
+
1
donc
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
u_{n+1} -u_{n} \ge 0
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est
croissante.
\red{\text{ croissante.}}
croissante.
Question 4
u
n
=
2
n
2
+
n
u_{n} =2n^{2} +n
u
n
=
2
n
2
+
n
Correction
Si
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
u_{n+1} -u_{n} \ge 0
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est croissante.
Si
u
n
+
1
−
u
n
≤
0
u_{n+1} -u_{n} \le 0
u
n
+
1
−
u
n
≤
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est décroissante.
Si
u
n
+
1
−
u
n
=
0
u_{n+1} -u_{n} =0
u
n
+
1
−
u
n
=
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est constante.
1
ère
étape :
Exprimer
u
n
+
1
u_{n+1}
u
n
+
1
en fonction de
n
n
n
.
Comme
u
n
=
2
n
2
+
n
u_{n} =2n^{2} +n
u
n
=
2
n
2
+
n
alors :
u
n
+
1
=
2
(
n
+
1
)
2
+
n
+
1
u_{n+1} =2\left(n+1\right)^{2} +n+1
u
n
+
1
=
2
(
n
+
1
)
2
+
n
+
1
u
n
+
1
=
2
(
n
2
+
2
n
+
1
)
+
n
+
1
u_{n+1} =2\left(n^{2} +2n+1\right)+n+1
u
n
+
1
=
2
(
n
2
+
2
n
+
1
)
+
n
+
1
u
n
+
1
=
2
n
2
+
4
n
+
2
+
n
+
1
u_{n+1} =2n^{2} +4n+2+n+1
u
n
+
1
=
2
n
2
+
4
n
+
2
+
n
+
1
u
n
+
1
=
2
n
2
+
5
n
+
3
u_{n+1} =2n^{2} +5n+3
u
n
+
1
=
2
n
2
+
5
n
+
3
2
ème
étape :
Calcul de
u
n
+
1
−
u
n
u_{n+1} -u_{n}
u
n
+
1
−
u
n
puis étude du signe de
u
n
+
1
−
u
n
u_{n+1} -u_{n}
u
n
+
1
−
u
n
.
u
n
+
1
−
u
n
=
2
n
2
+
5
n
+
3
−
(
2
n
2
+
n
)
u_{n+1} -u_{n} =2n^{2} +5n+3-\left(2n^{2} +n\right)
u
n
+
1
−
u
n
=
2
n
2
+
5
n
+
3
−
(
2
n
2
+
n
)
u
n
+
1
−
u
n
=
2
n
2
+
5
n
+
3
−
2
n
2
−
n
u_{n+1} -u_{n} =2n^{2} +5n+3-2n^{2} -n
u
n
+
1
−
u
n
=
2
n
2
+
5
n
+
3
−
2
n
2
−
n
u
n
+
1
−
u
n
=
4
n
+
3
u_{n+1} -u_{n} =4n+3
u
n
+
1
−
u
n
=
4
n
+
3
Ici,
u
n
+
1
−
u
n
u_{n+1} -u_{n}
u
n
+
1
−
u
n
dépend de
n
n
n
, il faut donc étudier le signe de
4
n
+
3
4n+3
4
n
+
3
.
Comme
n
n
n
un entier naturel alors
n
≥
0
n\ge0
n
≥
0
donc
4
n
≥
0
4n\ge0
4
n
≥
0
ainsi
4
n
+
3
≥
3
4n+3\ge3
4
n
+
3
≥
3
.
Il en résulte que
4
n
+
3
≥
0
4n+3\ge 0
4
n
+
3
≥
0
Or
u
n
+
1
−
u
n
=
4
n
+
3
u_{n+1} -u_{n} =4n+3
u
n
+
1
−
u
n
=
4
n
+
3
donc
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
u_{n+1} -u_{n} \ge 0
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est
croissante.
\red{\text{ croissante.}}
croissante.