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Suites numériques
Etudier le sens de la variation d’une suite
(
u
n
)
(u_{n})
(
u
n
)
à l'aide de
u
n
+
1
−
u
n
u_{n+1} -u_{n}
u
n
+
1
−
u
n
- Exercice 2
8 min
20
Question 1
Soit
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
la suite définie pour tout entier naturel
n
n
n
par :
u
n
=
n
2
−
6
u_{n}=n^{2}-6
u
n
=
n
2
−
6
.
Exprimer
u
n
+
1
u_{n+1}
u
n
+
1
en fonction de
n
n
n
.
Correction
Comme
u
n
=
n
2
−
6
u_{n}=n^{2}-6
u
n
=
n
2
−
6
alors :
u
n
+
1
=
(
n
+
1
)
2
−
6
u_{n+1} =\left(n+1\right)^{2}-6
u
n
+
1
=
(
n
+
1
)
2
−
6
.
Identité remarquable
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} +2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
u
n
+
1
=
n
2
+
2
n
+
1
−
6
u_{n+1} =n^{2}+2n+1-6
u
n
+
1
=
n
2
+
2
n
+
1
−
6
Ainsi :
u
n
+
1
=
n
2
+
2
n
−
5
u_{n+1} =n^{2}+2n-5
u
n
+
1
=
n
2
+
2
n
−
5
Question 2
Exprimer
u
n
+
1
−
u
n
u_{n+1}-u_{n}
u
n
+
1
−
u
n
en fonction de
n
n
n
.
Correction
u
n
+
1
−
u
n
=
n
2
+
2
n
−
5
−
(
n
2
−
6
)
u_{n+1}-u_{n}=n^{2}+2n-5-\left(n^{2}-6\right)
u
n
+
1
−
u
n
=
n
2
+
2
n
−
5
−
(
n
2
−
6
)
u
n
+
1
−
u
n
=
n
2
+
2
n
−
5
−
n
2
+
6
u_{n+1}-u_{n}=n^{2}+2n-5-n^{2}+6
u
n
+
1
−
u
n
=
n
2
+
2
n
−
5
−
n
2
+
6
Ainsi :
u
n
+
1
−
u
n
=
2
n
+
1
u_{n+1}-u_{n}=2n+1
u
n
+
1
−
u
n
=
2
n
+
1
Question 3
Etudiez le signe
u
n
+
1
−
u
n
+
1
u_{n+1}-u_{n+1}
u
n
+
1
−
u
n
+
1
.
Correction
Ici,
u
n
+
1
−
u
n
u_{n+1} -u_{n}
u
n
+
1
−
u
n
dépend de
n
n
n
, il faut donc étudier le signe de
2
n
+
1
2n+1
2
n
+
1
.
Comme
n
n
n
un entier naturel alors
n
≥
0
n\ge0
n
≥
0
donc
2
n
≥
0
2n\ge0
2
n
≥
0
ainsi
2
n
+
1
≥
1
2n+1\ge1
2
n
+
1
≥
1
.
Il en résulte que
2
n
+
1
≥
0
2n+1\ge 0
2
n
+
1
≥
0
Or
u
n
+
1
−
u
n
=
2
n
+
1
u_{n+1} -u_{n} =2n+1
u
n
+
1
−
u
n
=
2
n
+
1
donc
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
u_{n+1} -u_{n} \ge 0
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
.
Question 4
En déduire le sens de variation de la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
.
Correction
Si
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
u_{n+1} -u_{n} \ge 0
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est croissante.
Si
u
n
+
1
−
u
n
≤
0
u_{n+1} -u_{n} \le 0
u
n
+
1
−
u
n
≤
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est décroissante.
Si
u
n
+
1
−
u
n
=
0
u_{n+1} -u_{n} =0
u
n
+
1
−
u
n
=
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est constante.
D'après la question
3
3
3
, nous savons que :
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
u_{n+1}-u_{n}\ge 0
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
Finalement :
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
u_{n+1} -u_{n} \ge 0
u
n
+
1
−
u
n
≥
0
alors la suite
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
est
croissante.
\red{\text{ croissante.}}
croissante.