Comment déterminer l'expression d'une fonction polynôme du troisième degré à partir d'éléments graphiques ou de données - Exercice 1

D'après les hypothèses nous savons que les réels $$-2$$, $$1$$ et $$3$$ sont les racines de $$f$$.
Autrement dit, on a : $$f\left(-2\right)=0$$ ; $$f\left(1\right)=0$$ et $$f\left(3\right)=0$$.
On note alors par exemple que : $$x_1=-2$$ ; $$x_2=1$$ et $$x_3=3$$ .
D'après le rappel, nous pouvons alors écrire que :
$$f\left(x\right)=a\left(x-\left(-2\right) \right)\left(x-1 \right)\left(x-3 \right)$$
ou encore :
$$f\left(x\right)=a\left(x+2 \right)\left(x-1 \right)\left(x-3 \right)$$
De plus, nous savons que $$f\left(4\right)=36$$ . Cette information va nous permettre de déterminer la valeur du réel $$a$$.
Il s'ensuit que :
$$f\left(4\right)=36$$
$$a\left(4-\left(-2\right) \right)\left(4-1 \right)\left(4-3 \right)=36$$
$$a\left(\red{4+2 }\right)\left(\blue{4-1} \right)\left(\pink{4-3 }\right)=36$$
$$a\times\red{6}\times\blue{3}\times\pink{1}=36$$
$$a\times18=36$$
$$a=\frac{36}{18}$$
Soit :
La fonction polynôme de degré $$3$$ admettant $$-2$$, $$1$$ et $$3$$ pour racines et telle que $$f\left(4\right)=36$$ s'écrit alors :