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Représenter graphiquement une fonction du second degré à partir de sa forme factorisée - Exercice 1

20 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2(x1)(x+3)f\left(x\right)=2\left(x-1\right)\left(x+3\right). On note C\mathscr{C} sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

Déterminer les points d'intersection de la courbe C\mathscr{C} et de l'axe des abscisses.

Correction
Pour déterminer l’intersection de la courbe de ff avec l’axe des abscisses, il suffit de résoudre l’équation f(x)=0f\left(x\right)=0 .
Ainsi :
2(x1)(x+3)=02\left(x-1\right)\left(x+3\right)=0 . Il s'agit ici d'une équation produit nul.
Il faut donc résoudre : x1=0x-1=0 ou\text{\red{ou}} x+3=0x+3=0
D’une part :\text{\blue{D'une part :}}
x1=0x-1=0
x=1x=1
D’autre part :\text{\blue{D'autre part :}}
x+3=0x+3=0
x=3x=-3
Les points cherchés ont pour coordonnées (3;0)\left(-3;0\right) et (1;0)\left(1;0\right)
Question 2

Déterminer une équation de l'axe de symétrie de la parabole C\mathscr{C} .

Correction
  • La représentation graphique de la fonction xa(xx1)(xx2)x\mapsto a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)aa, x1x_1 et x2x_2 sont des constantes réelles avec a0a\ne 0 est une parabole ayant la droite x=x1+x22x=\frac{x_1+x_2}{2} comme axe de symétrie.
Nous avons f(x)=2(x1)(x+3)f\left(x\right)=2\left(x-1\right)\left(x+3\right) . D'après le rappel, nous pouvons identifier que x1=1x_1=1 et x2=3x_2=-3 .
L'axe de symétrie admet comme équation x=x1+x22x=\frac{x_1+x_2}{2}, il vient alors :
x=1+(3)2x=\frac{1+\left(-3\right)}{2}
x=22x=\frac{-2}{2}
x=1x=-1

L'équation de cet axe de symétrie est : x=1x=-1 .
Question 3

Déterminer les coordonnées du sommet SS de C\mathscr{C} ou encore déterminer les coordonnées de son extremum.

Correction
Déterminer les coordonnées du sommet SS de C\mathscr{C} ou encore déterminer les coordonnées de son extremum. Il s'agit de deux manières différentes de poser la question.
Le sommet SS de la parabole C\mathscr{C} appartient à l'axe de symétrie donc son abscisse vaut 1-1 et son ordonnée vaut f(1)=2×(11)×(1+3)f\left(-1\right)=2\times\left(-1-1\right)\times\left(-1+3\right)
f(1)=2×(2)×2f\left(-1\right)=2\times\left(-2\right)\times2
f(1)=8f\left(-1\right)=-8

Le sommet de la parabole SS est donc le point de coordonnées (1;8)\left(-1;-8\right)
Question 4

Tracer la parabole C\mathscr{C} et son axe de symétrie .

Correction
Question 5

Donner le tableau de variation de la fonction ff .

Correction
D'après la question 33, nous savons que le sommet de la parabole SS est donc le point de coordonnées (1;8)\left(-1;-8\right)
  • La fonction ff est alors décroissante sur l'intervalle ];1]\left]-\infty;-1\right]
  • La fonction ff est alors croissante sur l'intervalle [1;+[\left[-1;+\infty\right[
  • On en déduit le tableau de variation ci-dessous :
    Question 6

    Déterminer graphiquement le signe de la fonction ff .

    Correction
    D'après la représentation graphique faite à la question 44, nous pouvons lire que :
  • Si x];3]x\in \left]-\infty;-3\right] alors ff est au-dessus ou égale de l'axe des abscisses donc f(x)f\left(x\right) est positive.
  • Si x[3;1]x\in \left[-3;1\right] alors ff est en-dessous ou égale de l'axe des abscisses donc f(x)f\left(x\right) est négative.
  • Si x[1;+]x\in \left[1;+\infty\right] alors ff est au-dessus ou égale de l'axe des abscisses donc f(x)f\left(x\right) est positive.
  • Nous pouvons maintenant dresser le tableau de signe de la fonction ff.