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Exercices types : 22ème partie - Exercice 1

20 min
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Après l’administration d’un antibiotique, la population d’une bactérie, exprimée en dizaine de milliers, est modélisée par la fonction ff définie sur l’intervalle [0;3]\left[0; 3\right] par : f(t)=0,9t2+1,53t+3,51f\left(t\right)=-0,9t^{2} +1,53t+3,51tt désigne le temps exprimé en heure.
On administre l’antibiotique à l’instant t=0t = 0.
Question 1

Quel est le nombre de bactéries à l’instant où l’on administre l’antibiotique ?

Correction
On administre l’antibiotique à l’instant t=0t = 0.
Il nous faut calculer f(0)f\left(0\right) .
Il vient alors que :
f(0)=0,9×02+1,53×0+3,51f\left(0\right)=-0,9\times 0^{2} +1,53\times 0+3,51
Ainsi :
f(0)=3,51f\left(0\right)=3,51

On rappelle que la population d’une bactérie est exprimée en dizaine de milliers.
Il en résulte que le nombre de bactéries à l’instant où l’on administre l’antibiotique est alors de 3535 100100 .
Question 2

Calculer f(3)f\left(3\right). Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Correction
f(3)=0,9×32+1,53×3+3,51f\left(3\right)=-0,9\times 3^{2} +1,53\times 3+3,51
Ainsi :
f(3)=0f\left(3\right)=0

Au bout de 33 heures, il n'y a donc plus de bactéries.
Question 3

Vérifier que : f(t)=0,9(t3)(t+1,3)f\left(t\right)=-0,9\left(t-3\right)\left(t+1,3\right)

Correction
Nous allons développer l'expression 0,9(t3)(t+1,3)-0,9\left(t-3\right)\left(t+1,3\right).
Il vient alors que :
f(t)=0,9(t3)(t+1,3)f\left(t\right)=-0,9\left(t-3\right)\left(t+1,3\right)
f(t)=0,9(t×t+t×1,33×t3×1,3)f\left(t\right)=-0,9\left(t\times t+t\times 1,3-3\times t-3\times 1,3\right)
f(t)=0,9(t2+1,3t3t3,9)f\left(t\right)=-0,9\left(t^{2} +1,3t-3t-3,9\right)
f(t)=0,9(t21,7t3,9)f\left(t\right)=-0,9\left(t^{2} -1,7t-3,9\right)
f(t)=0,9×t2+(0,9)×(1,7t)+(0,9)×(3,9)f\left(t\right)=-0,9\times t^{2} +\left(-0,9\right)\times \left(-1,7t\right)+\left(-0,9\right)\times \left(-3,9\right)
Ainsi :
f(t)=0,9t2+1,53t+3,51f\left(t\right)=-0,9t^{2} +1,53t+3,51

Question 4

Déterminer au bout de combien de temps après l’administration de l’antibiotique, le nombre de bactéries est maximal (on exprimera le résultat en heure-minute).

Correction
Pour répondre à cette question, nous allons commencer par déterminer l'axe de symétrie de la fonction ff, puis nous déterminerons le sommet de la fonction ff.
  • La représentation graphique de la fonction xa(xx1)(xx2)x\mapsto a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)aa, x1x_1 et x2x_2 sont des constantes réelles avec a0a\ne 0 est une parabole ayant la droite x=x1+x22x=\frac{x_1+x_2}{2} comme axe de symétrie.
Nous avons f(t)=0,9(t3)(t+1,3)f\left(t\right)=-0,9\left(t-3\right)\left(t+1,3\right) . D'après le rappel, nous pouvons identifier que x1=3x_1=3 et x2=1,3x_2=-1,3 .
L'axe de symétrie admet comme équation x=x1+x22x=\frac{x_1+x_2}{2}, il vient alors :
x=3+(1,3)2x=\frac{3+\left(-1,3\right)}{2}
x=31,32x=\frac{3-1,3}{2}
x=1,72x=\frac{1,7}{2}
x=0,85x=0,85

Déterminer les coordonnées du sommet SS de C\mathscr{C} ou encore déterminer les coordonnées de son extremum. Il s'agit de deux manières différentes de poser la question.
Le sommet SS de la parabole C\mathscr{C} appartient à l'axe de symétrie donc son abscisse vaut 0,850,85 et son ordonnée vaut f(0,85)=0,9(0,853)(0,85+1,3)f\left(0,85\right)=-0,9\left(0,85-3\right)\left(0,85+1,3\right)
Ainsi :
f(0,85)=4,16025f\left(0,85\right)=4,16025

Le sommet de la parabole SS est donc le point de coordonnées (0,85;4,16025)\left(0,85;4,16025\right)
Le sommet correspond ici au maximum de la fonction ff .
Le nombre de bactéries est maximal au bout de t=0,85t = 0,85 heure , soit
0,85×60=51,000,85\times 60 = 51,00
minutes .
Question 5

Quel est alors le nombre maximal de bactéries ?

Correction
D’après la question précédente le nombre de bactéries est maximal au bout de 5151 minutes.
Comme f(0,85)=4,16025f\left(0,85\right)=4,16025, il y a donc 4141 603603 bactéries.