Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 1

Résoudre $$f\left(x\right)=-4$$ peut également se traduire par déterminer les antécédents de $$-4$$ .
On cherche les abscisses des points d’intersection entre la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$ et la droite horizontale $$y = -4$$.
La droite d'équation $$y=-4$$ coupe la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$ aux points d'abscisses respectives $$2$$ et $$5$$ .
Par lecture graphique, l'ensemble des solutions de l'équation $$f\left(x\right)=-4$$ est

Résoudre $$f\left(x\right)=-6$$ peut également se traduire par déterminer les antécédents de $$-6$$ .
On cherche les abscisses des points d’intersection entre la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$ et la droite horizontale $$y = -6$$.
La droite d'équation $$y=-6$$ coupe la courbe $$\mathscr{C_{f}}$$ aux points d'abscisses respectives $$3$$ et $$4$$ .
Par lecture graphique, l'ensemble des solutions de l'équation $$f\left(x\right)=-6$$ est

Résoudre l'équation $$f\left(x\right)=0$$ revient à déterminer les points d'intersection de la courbe $$\mathscr{C}$$ et de l'axe des abscisses.
Ainsi :
$$\left(x-1\right)\left(x-6\right)=0$$ . Il s'agit ici d'une équation produit nul.
Il faut donc résoudre : $$x-1=0$$ $$\text{\red{ou}}$$ $$x-6=0$$
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$x-1=0$$
$$x=1$$
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$x-6=0$$
$$x=6$$
Les points cherchés ont pour coordonnées $$\left(1;0\right)$$ et $$\left(6;0\right)$$

Nous avons $$f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-6\right)$$ . D'après le rappel, nous pouvons identifier que $$x_1=1$$ et $$x_2=6$$ .
L'axe de symétrie admet comme équation $$x=\frac{x_1+x_2}{2}$$, il vient alors :
$$x=\frac{1+6}{2}$$

Déterminer les coordonnées du sommet $$S$$ de $$\mathscr{C}$$ ou encore déterminer les coordonnées de son extremum. Il s'agit de deux manières différentes de poser la question.
Le sommet $$S$$ de la parabole $$\mathscr{C}$$ appartient à l'axe de symétrie donc son abscisse vaut $$\frac{7}{2}$$ et son ordonnée vaut $$f\left(\frac{7}{2}\right)=\left(\frac{7}{2}-1\right)\times\left(\frac{7}{2}-6\right)$$
$$f\left(\frac{7}{2}\right)=\left(\frac{7}{2}-\frac{2}{2}\right)\times\left(\frac{7}{2}-\frac{12}{2}\right)$$
$$f\left(\frac{7}{2}\right)=\left(\frac{5}{2}\right)\times\left(-\frac{5}{2}\right)$$

Le sommet de la parabole $$S$$ est donc le point de coordonnées $$\left(\frac{7}{2};-\frac{25}{4}\right)$$

On cherche les abscisses des points de la courbe qui sont strictement en-dessous de la droite d'équation $$y=0$$ qui correspond ici à l’axe des abscisses.

Sur l'intervalle $$\left]1;6\right[$$, la courbe représentative de la fonction $$f$$ est située strictement en-dessous de l'axe des abscisses.

L'ensemble des solutions de l'inéquation $$f\left(x\right)<0$$ est l'intervalle :

D'après le graphique ci-dessous, on peut affirmer que :

La fonction $$f$$ est au-dessus de l'axe des abscisses sur les intervalles $$\left[0;1\right]\cup \left[6;7\right]$$

La fonction $$f$$ est en-dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle $$\left[1;6\right]$$

Nous allons traduire ses données dans un tableau de signe :

D'après la quesion $$5$$, le sommet de la parabole $$S$$ est donc le point de coordonnées $$\left(\frac{7}{2};-\frac{25}{4}\right)$$ .
Il en résulte donc que :

La fonction $$f$$ est décroissante sur l'intervalle $$\left[0;\frac{7}{2}\right]$$

La fonction $$f$$ est croissante sur l'intervalle $$\left[\frac{7}{2};7\right]$$

Nous traduisons cela dans un tableau de variation :

D'après la question $$8$$, lorsque $$x$$ varie dans $$\left[0;7\right]$$ alors la fonction $$f$$ admet un maximum qui vaut $$6$$ et un minimum qui vaut $$-\frac{25}{4}$$ .
Il en résulte donc que lorsque $$x$$ varie dans $$\left[0;7\right]$$ alors $$f\left(x\right)$$ sur l'intervalle $$\left[-\frac{25}{4};6\right]$$ .