Fonctions polynômes de degré 2

Déterminer le sommet d'une fonction du second degré à partir de sa forme factorisée - Exercice 4

10 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=32(x1)(x6)f\left(x\right)=\frac{3}{2}\left(x-1\right)\left(x-6\right). On note C\mathscr{C} sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

Déterminer les points d'intersection de la courbe C\mathscr{C} et de l'axe des abscisses.

Correction
Pour déterminer l’intersection de la courbe de ff avec l’axe des abscisses, il suffit de résoudre l’équation f(x)=0f\left(x\right)=0 .
Ainsi :
32(x1)(x6)=0\frac{3}{2}\left(x-1\right)\left(x-6\right)=0 . Il s'agit ici d'une équation produit nul.
Il faut donc résoudre : x1=0x-1=0 ou\text{\red{ou}} x6=0x-6=0
D’une part :\text{\blue{D'une part :}}
x1=0x-1=0
x=1x=1
D’autre part :\text{\blue{D'autre part :}}
x6=0x-6=0
x=6x=6
Les points cherchés ont pour coordonnées (1;0)\left(1;0\right) et (6;0)\left(6;0\right)
Question 2

Déterminer une équation de l'axe de symétrie de la parabole C\mathscr{C} .

Correction
  • La représentation graphique de la fonction xa(xx1)(xx2)x\mapsto a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)aa, x1x_1 et x2x_2 sont des constantes réelles avec a0a\ne 0 est une parabole ayant la droite x=x1+x22x=\frac{x_1+x_2}{2} comme axe de symétrie.
Nous avons f(x)=32(x1)(x6)f\left(x\right)=\frac{3}{2}\left(x-1\right)\left(x-6\right) . D'après le rappel, nous pouvons identifier que x1=1x_1=1 et x2=6x_2=6 .
L'axe de symétrie admet comme équation x=x1+x22x=\frac{x_1+x_2}{2}, il vient alors :
x=1+62x=\frac{1+6}{2}
x=72x=\frac{7}{2}
x=72x=\frac{7}{2}
Question 3

Déterminer les coordonnées du sommet SS de C\mathscr{C} ou encore déterminer les coordonnées de son extremum.

Correction
Déterminer les coordonnées du sommet SS de C\mathscr{C} ou encore déterminer les coordonnées de son extremum. Il s'agit de deux manières différentes de poser la question.
Le sommet SS de la parabole C\mathscr{C} appartient à l'axe de symétrie donc son abscisse vaut 72\frac{7}{2} et son ordonnée vaut f(72)=32×(721)×(726)f\left(\frac{7}{2}\right)=\frac{3}{2}\times\left(\frac{7}{2}-1\right)\times\left(\frac{7}{2}-6\right)
f(72)=32×52×(52)f\left(\frac{7}{2}\right)=\frac{3}{2}\times\frac{5}{2}\times\left(-\frac{5}{2}\right)
f(72)=758f\left(\frac{7}{2}\right)=-\frac{75}{8}

Le sommet de la parabole SS est donc le point de coordonnées (72;758)\left(\frac{7}{2};-\frac{75}{8}\right)