Dérivation

Exercices types : 2ème partie

Exercice 1

Une entreprise produit et vend du safran, une épice de grande qualité. On note xx le nombre de kilogrammes que produit et vend l’entreprise en un an, xx étant compris entre 00 et 1010. Le montant des charges correspondant à la production de xx kilogrammes de safran, exprimé en milliers d’euros, est modélisé par la fonction CC définie sur l’intervalle [0;10]\left[0; 10\right] par : C(x)=2x323x2+90x+10C\left(x\right) = 2x^{3}-23x^{2} +90x +10
On a tracé ci-dessous la représentation graphique de cette fonction CC dans un repère orthogonal.
1

Déterminer le montant des charges lorsque l’entreprise produit 55 kilogrammes de safran.

Correction
2

Déterminer, par lecture graphique, le nombre de kilogrammes de safran à produire pour que le montant des charges soit égal à
200200 000000 euros.

Correction
L’entreprise vend la totalité de sa production. Chaque kilogramme de safran est vendu au prix de 5050 milliers d’euros.
3

Déterminer le chiffre d’affaires R(x)R\left(x\right), en milliers d’euros, réalisé pour la vente de xx kilogrammes de safran.

Correction
4

Vérifier que le bénéfice B(x)B\left(x\right), en milliers d’euros, réalisé pour la vente de xx kilogrammes de safran est : B(x)=2x3+23x240x10B\left(x\right) = -2x^{3} +23x^{2} -40x -10.

Correction
On note BB' la fonction dérivée de la fonction BB.
5

Calculer B(x)B'\left(x\right) .

Correction
6

Montrer que B(x)B'\left(x\right) peut s'écrire sous la forme : B(x)=6(x203)(x1)B'(x)=-6\left(x-\frac{20}{3}\right)(x-1)

Correction
7

Étudier le signe de B(x)B'\left(x\right). Donner le tableau de variation de BB.

Correction
8

Dresser le tableau de variation de BB sur l'intervalle [0;10]\left[0;10\right] .

Correction
9

Quelle quantité de safran l’entreprise doit-elle vendre pour réaliser le bénéfice maximal? Quel est ce bénéfice maximal, arrondi au millier d’euros

Correction

Exercice 2

Une entreprise fabrique des emballages en cartons spécifiques aux médicaments. La production quotidienne sur une de ses lignes de production, exprimée en millier d’emballages, varie entre 55 et 2020.
Le coût correspondant à la fabrication de xx milliers d’emballages, exprimé en euro, est modélisé par la fonction ff définie sur l’intervalle [5;20]\left[5; 20\right] par : f(x)=x324x2+180x+250f\left(x\right) = x^{3} -24x^{2} +180x +250 .
1

On note ff' la fonction dérivée de la fonction ff sur l’intervalle [5;20]\left[5; 20\right]. Calculer f(x)f'\left(x\right).

Correction
2

Montrer que f(x)f'\left(x\right) peut s'écrire sous la forme : f(x)=3(x6)(x10)f'(x)=3\left(x-6\right)(x-10)

Correction
3

En déduire le signe de ff' sur l'intervalle [5;20]\left[5; 20\right]. Dresser le tableau de variation de ff.

Correction
4

Dresser le tableau de variation de ff sur l'intervalle [5;20]\left[5;20\right] .

Correction
5

Quel est le nombre d’emballages à fabriquer pour obtenir le coût minimal? Quel est alors ce coût minimal?

Correction
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